Tại sao nhóm Pauli được sử dụng cho chất ổn định?

Khi nói đến việc sửa lỗi, chúng tôi đưa các chất ổn định của mình trở thành thành viên của nhóm Pauli. Tại sao nhóm Pauli được sử dụng cho việc này mà không phải là nhóm của tất cả các ma trận đơn nhất?

Có một số lý do khá đơn giản - ngoài lịch sử đơn thuần - để sử dụng ma trận Pauli thay vì ma trận đơn nhất tùy ý. Những lý do này có thể không duy nhất tách ra khỏi nhóm các nhà khai thác Pauli, nhưng chúng hạn chế đáng kể phạm vi của những gì hiệu quả để xem xét.

1. Một toán tử ổn định , đầu tiên và quan trọng nhất, phải có giá trị riêng +1; mặt khác, không có bất kỳ trạng thái nào mà nó 'ổn định', theo nghĩa là . Vì vậy, chúng ta phải giới hạn bản thân trong các nhóm toán tử có giá trị riêng +1.$S$$\lvert \psi \rangle$$S \lvert \psi \rangle = \lvert \psi \rangle$

2. Thứ hai, chúng ta phải xem xét cách các toán tử ổn định có thể được sử dụng hoạt động. Nếu chúng ta biết rằng có một sự đối xứng của hệ thống nên giữ, nhưng chúng ta không có cách nào để xác định liệu sự đối xứng đó có tồn tại trong thực tế hay không (nghĩa là có xảy ra lỗi hay không), thì chúng ta đã thoát khỏi may mắn Những gì chúng tôi muốn có thể làm sau đó là có thể thực hiện ước lượng pha để kiểm tra xem giá trị riêng của một trạng thái nhất định đối với một nhà điều hành được cho là ổn định trên thực tế là +1, để xác định xem lệch khỏi các thuộc tính giữ nó hay không.$\lvert \psi \rangle$$S$$\lvert \psi \rangle$

   Điều này thúc đẩy việc xem xét các toán tử , vâng, là đơn nhất, nhưng cũng là nơi các giá trị riêng khác biệt đáng kể với nhau, để ước lượng pha dễ dàng phân biệt một trạng thái với lỗi đáng kể với một lỗi không đáng kể. Điều này thúc đẩy việc xem xét một tập hợp các toán tử -bit có tối đa giá trị riêng.$S$$n$$1/\mathrm{poly}(n)$

3. Một phần của toàn bộ vấn đề là chúng tôi muốn phát hiện và sửa chữa cho các hoạt động có thể liên quan đến các phép biến đổi lượng tử phức tạp. Nếu việc ước tính pha liên quan đến ước tính giá trị riêng của toán tử ổn định là phức tạp, thì chúng ta không giúp gì được cho tình huống này.$S$

   Điều gì sẽ tốt cho mỗi toán tử ổn định mà chúng tôi cho là có cấu trúc rất đơn giản: ví dụ, chúng tôi có thể đặc biệt quan tâm đến trường hợp chúng là các sản phẩm tenor của các hoạt động 1- hoặc 2 qubit. Có vẻ hợp lý khi tiếp cận đối tượng bằng cách coi mỗi toán tử là một sản phẩm tenor của các hoạt động qubit đơn.$S$$S$

4. Để xem xét các hoạt động của sản phẩm tenxơ trên các qubit , có nhiều nhất các giá trị riêng biệt , bao gồm +1 - và không áp đặt các ràng buộc lúng túng đối với các toán tử qubit đơn lẻ hành động trên các qubit nào - chúng tôi ít nhiều buộc phải xem xét các toán tử đơn vị qubit đơn có phạm vi giá trị riêng trong một số tập hữu hạn (độc lập với hoặc ) bao gồm +1.$k \leqslant n$$1/\mathrm{poly}(k)$$E \subseteq \mathbb C$$k$$n$

   Chúng tôi có thể giảm trường hợp này thành trường hợp bằng cách quan sát rằng ước tính giá trị riêng của toán tử sản phẩm , trong đó mỗi có 1 +1 eigenvalue và một eigenvalue không +1, giống như thực hiện một phiên bản rút gọn nhân tạo của ước lượng eigenvalue cho toán tử có eigenvalues . Hơn nữa, để xem xét một số toán tử quản lý để có một không gian eigens +1 chung hữu ích, nó giúp cho mỗi toán tử S có không gian mở rộng +1 càng lớn càng tốt; sau đó nó giúp cho nó dễ dàng nhất có thể đối với các giá trị riêng của mỗi$E = \{+1,-1\}$$S = S_1 \otimes S_2 \otimes \cdots \otimes S_k$$S_j$$P_j$$\pm 1$$S$$S_j$nhân lên +1. Điều này một lần nữa thúc đẩy trường hợp giá trị bản địa của là .$S_j$$\pm 1$

5. Không có gì buộc chúng ta phải xem xét nhóm các toán tử được tạo bởi một tập hợp như vậy, nhưng các sản phẩm của các toán tử ổn định của chúng ta cũng sẽ là các toán tử ổn định và chúng ta có đủ các ràng buộc đối với các toán tử mà ít nhất chúng ta có thể chiêm ngưỡng nhóm được tạo bởi các toán tử ổn định của chúng ta .

   Chúng tôi có các toán tử và có các yếu tố đều là hoặc phản xạ không tầm thường trên các trạng thái qubit đơn lẻ; sản phẩm của họ sẽ được quay theo một góc xác định bởi các góc giữa các hàm riêng của và . Nếu chúng ta muốn có được một lý thuyết sạch đẹp, chúng ta có thể muốn các sản phẩm của các toán tử ổn định dễ dàng đo lường được: điều này thúc đẩy việc tỷ lệ thuận với một toán tử có giá trị riêng (thực ra sẽ có giá trị bản địa$S = S_1 \otimes \cdots \otimes S_n$$S' = S'_1 \otimes \cdots \otimes S'_n$$\mathbb 1$$S_j S'_j$$\theta$$S_j$$S'_j$$S_j S'_j$$\pm 1$$S_j S'_j$$\pm i$ ), trong trường hợp đó là và nghịch.$S_j$$S'_j$

Do đó, sự kết hợp ở trên của các ràng buộc lý thuyết và thực tế đủ để mang lại một cái gì đó đồng hình với nhóm Pauli. Hơn nữa, vì các toán tử Pauli có một lý thuyết khá dễ hiểu, nó đã dẫn đến một lý thuyết hiệu quả về sửa lỗi lượng tử.

Một câu hỏi công bằng sẽ là những động thái trên là tùy ý hơn các động thái khác.

• Nó sẽ không kì diệu cho tôi nếu có một lý thuyết hiệu quả sửa chữa sai sót trong đó những hạn chế là tensor khai thác sản phẩm, có thừa số tensor có giá trị riêng , nhưng mà các nhà khai thác có thể không nhất thiết anticommute (bước 5 ở trên).$\pm 1$

• Tinh vi hơn (và khó hơn) sẽ là một lý thuyết mạnh mẽ và hữu ích về sửa lỗi trong đó các toán tử ổn định mà một biện pháp bao gồm các toán tử không phải là toán tử kéo căng (bước 3 - sẽ thúc đẩy không quá lo lắng về việc có cấu trúc nhóm trong nhóm chất ổn định mà bạn định đo).

Từ góc độ toán học thuần túy, không có gì rõ ràng để ngăn chặn hoặc ngăn cản một cuộc điều tra như vậy - tất nhiên, từ thực tế là nó có thể khó và cũng có thể là không cần thiết - và theo nghĩa này, nó sẽ hoàn toàn tốt để xem xét các lý thuyết về sửa lỗi lượng tử mở rộng ra ngoài nhóm Pauli.

Bất kỳ nhà khai thác nào từ nhóm Pauli đều có hai không gian có kích thước bằng nhau. Vì vậy, chúng tôi biết rằng bằng cách thêm một bộ tạo ổn định từ nhóm này, chúng tôi giảm một nửa kích thước của không gian ổn định. Điều này có nghĩa là không gian ổn định sẽ phù hợp với một qubit ít logic hơn. Điều này giúp dễ dàng biết khi nào chúng ta có đủ bộ ổn định: để lưu trữ qubit hợp lý trong qubit vật lý, chúng ta chỉ cần tạo ổn định độc lập.$k$$n$$n-k$

Ngoài ra, nhóm Pauli được tạo thành từ các nhà khai thác Hermiti. Vì cần phải đo điểm của chất ổn định, nên rất hữu ích khi chúng là Hermiti, vì chúng có thể được hiểu trực tiếp là vật quan sát được.

Hơn nữa, các toán tử ánh xạ giữa các trạng thái ổn định (các trạng thái riêng của các toán tử ổn định) sẽ là các thành phần của nhóm Pauli. Điều này có liên quan đến điểm nêu trong nhận xét của bạn: Các yếu tố nhóm Pauli tạo thành một cơ sở hoàn chỉnh để mô tả hoạt động đa qubit. Vì vậy, một khi chúng ta đo các chất ổn định và tiếng ồn được giảm một cách hiệu quả thành ánh xạ giữa các trạng thái ổn định, thì sẽ khá giống như tiếng ồn chỉ áp dụng một loạt Paulis đơn giản. Chỉnh sửa có thể được thực hiện bằng cách xoay khung Pauli đơn giản. Điều này thậm chí không yêu cầu chúng tôi áp dụng trực tiếp bất kỳ cổng nào vào mã. Chúng ta chỉ có thể nói "Có vẻ như một đạt được qubit này, vì vậy từ giờ tôi sẽ hiểu là và ngược lại".$\sigma_x$$|0\rangle$$|1\rangle$

Paulis không bắt buộc, nhưng họ có tài sản tốt. Vì vậy, đó là lý do tại sao họ là trọng tâm