Sự khác biệt giữa không gian mã của người khác là gì

Tôi tiếp tục đọc (ví dụ Nielsen và Chuang, 2010; trang 456 và 465) ba giai đoạn sau; "Không gian mã", "từ mã" và "mã ổn định" - nhưng đang gặp khó khăn trong việc tìm định nghĩa về chúng và quan trọng hơn là chúng khác nhau như thế nào.

Câu hỏi của tôi là do đó; ba thuật ngữ này được định nghĩa như thế nào và chúng có liên quan như thế nào?

— Spaghettization lượng tử
nguồn

Không gian mã và từ mã

Mã sửa lỗi lượng tử thường được xác định với không gian mã (Nielsen & Chuang dường như chắc chắn làm như vậy). Các đang gian của ví dụ như một mã sửa lỗi lượng tử -qubit là một vector không gian con . $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

Một từ mã (thuật ngữ được mượn từ lý thuyết cổ điển về sửa lỗi) là một trạng thái cho một số mã-space: có nghĩa là, nó là một trạng thái mã hóa một số dữ liệu. $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

Mã sửa lỗi lượng tử

Trong thực tế, chúng tôi yêu cầu một số thuộc tính không tầm thường để giữ mã sửa lỗi lượng tử, chẳng hạn như:

Đó là , do đó có một số lượng-zero phi thông tin được mã hóa; $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
Rằng có một tập của ít nhất hai nhà khai thác bao gồm các nhà điều hành , như vậy - nếu là máy chiếu trực giao vào - chúng tôi có đối với một số vô hướng (được gọi là điều kiện Knill của Laflamme ). $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

Điều này xác định một số bộ toán tử lỗi mà theo nguyên tắc bạn có thể bảo vệ trạng thái , trong đó nếu các điều kiện Knill-Laflamme giữ của một tập hợp các toán , và một số nhà điều hành hoạt động trên trạng thái của bạn, nó có thể về nguyên tắc để phát hiện sự thật rằng đã xảy ra (như trái ngược với một số toán tử khác trong ) và hoàn tác lỗi, mà không làm gián đoạn dữ liệu được lưu trữ ở trạng thái ban đầu . $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

Một mã sửa lỗi lượng tử là một mã không gian , cùng với một tập hợp các nhà khai thác lỗi có đủ điều kiện Knill-Laflamme - đó là một lỗi lượng tử chỉnh mã phải xác định những lỗi đó có nghĩa là để bảo vệ chống lại. $\mathcal C$ $\mathcal E$

Tại sao người ta thường xác định mã sửa lỗi lượng tử với không gian mã của họ

Bạn không thể xác định một bộ duy nhất của các nhà khai thác đáp ứng các điều kiện Knill-Laflamme từ mã không gian một mình. Tuy nhiên, thông thường nhất là xem xét các toán tử trọng lượng thấp (những toán tử chỉ hoạt động trên một số lượng nhỏ các qubit) có thể được sửa chữa một cách đồng bộ bởi một mã, và ở một mức độ nào đó có thể được lấy từ không gian mã. Các đang khoảng cách của một gian mã là số nhỏ nhất của qubit mà bạn phải tác động vào, để chuyển một "mã từ" thành một từ mã khác nhau $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ . Nếu sau đó chúng ta mô tả một không gian mã là một Mã, này sau đó nói rằng có kích thước , và rằng các thiết lập rằng chúng ta xem xét là tập hợp của tất cả các nhà khai thác với trọng lượng Pauli tại hầu hết các . $[\![n,k,d]\!]$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

Trong một số trường hợp, mô tả mã là một mã là đủ. Chẳng hạn, mã 5 qubit là $[\![n,k,d]\!]$ mã và có thể chỉ ra rằng năm qubit không thể mã hóa một qubit duy nhất theo cách màbất kỳ lỗi nào kháccó thể được sửa chữa ngoài tất cả các lỗi của một qubit. Tuy nhiên, điều tương tự không đúng với Steane $[\![5,1,3]\!]$ mã, có thể bảo vệ chống lại bất kỳ lỗi Pauli qubit đơn cũng nhưmột số(nhưng không phải tất cả) lỗi Pauli hai qubit. Những lỗi Pauli hai qubit nào bạnnênbảo vệ chống lại phụ thuộc vào mô hình lỗi của bạn là gì; và nếu tiếng ồn của bạn là đối xứng và phân phối độc lập, thì bạn sẽ không quan trọng lắm việc bạn chọn gì (do đó bạn có thể đưa ra lựa chọn thông thường cho bất kỳlỗi đơn lẻ nàocùng với bất kỳlỗi ). Tuy nhiên, đây là mộtlựa chọnvà sẽ hướng dẫn cách bạn bảo vệ dữ liệu của mình khỏi tiếng ồn. $[\![7,1,3]\!]$ $X$ $Z$

Mã ổn định

Mã ổn định là mã sửa lỗi lượng tử được xác định bởi một bộ của bộ tạo ổn định , là các toán tử Pauli giao tiếp với nhau và xác định không gian mã bằng giao điểm của 1 + eigenspaces. (Người ta thường rất hữu ích để xem xét các nhóm ổn định hình thành bởi các sản phẩm của ). $\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

Hầu như tất cả các mã sửa lỗi lượng tử mà mọi người xem xét trong thực tế là mã ổn định. Đây là một lý do tại sao bạn có thể có vấn đề phân biệt hai thuật ngữ. Tuy nhiên, chúng tôi không yêu cầu mã sửa lỗi lượng tử phải là mã ổn định - giống như về nguyên tắc, chúng tôi không yêu cầu mã sửa lỗi cổ điển phải là mã tuyến tính. Các mã ổn định chỉ là một cách cực kỳ thành công để mô tả các mã sửa lỗi lượng tử, giống như các mã sửa lỗi tuyến tính là một cách cực kỳ thành công để mô tả các mã sửa lỗi cổ điển. Và thực tế, các mã ổn định có thể được coi là một khái quát tự nhiên của lý thuyết về mã tuyến tính cổ điển để sửa lỗi lượng tử.

Vì mọi người thường chỉ quan tâm đến các toán tử trọng lượng thấp hơn một nửa khoảng cách mã, nên bộ ổn định thường là tất cả mọi người nói về một mã hiệu chỉnh bộ ổn định. Tuy nhiên, để xác định tập hợp các lỗi dựa vào đó các mã có thể bảo vệ, nó là cần thiết cũng phải xác định một mối quan hệ giữa các nhà khai thác sản phẩm Pauli và các tập con , sao cho $\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

kháng với khi và chỉ khi cho ; $E$ $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
Nếu cả hai thỏa mãn và $E, E'$ $\sigma(E,S)$ , sau đó . $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

Điều này xác định một tập hợp lỗi dựa vào đó các mã có thể bảo vệ. Các tập con được gọi làhội chứng lỗi, và mối quan hệ mà tôi đã gọi là đây (mà bạn thường không nhìn thấy được một cái tên rõ ràng) cộng sự hội chứng cho một hoặc nhiều lỗi mà vì 'hội chứng, và có tác dụng trên mã là tương đương.

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

'Các hội chứng' biểu thị thông tin thực sự có thể thu được về một lỗi bằng 'phép đo kết hợp' - nghĩa là bằng cách đo các toán tử như các vật thể quan sát được (một quá trình thường được mô phỏng theo ước lượng giá trị riêng). Một lỗi 'gây ra' một hội chứng nếu, đối với bất kỳ từ mã nào , tình trạng là trong eigenspace của tất cả các nhà khai thác , và trong -eigenspace của tất cả các nhà khai thác khác trong $P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ . (Thuộc tính này có liên quan trực tiếp đến anticommutation của với tất cả các yếu tố của , và chỉ có những yếu tố này.) $E$ $S \subseteq \mathscr S$

— Niel de Beaudrap
nguồn

Trong đoạn thứ hai của bạn, bạn nói rằng một từ mã là một trạng thái trong

tức là trạng thái mã hóa một số dữ liệu. Bạn đang nói những gì các câu trả lời khác dường như đang nói - tức là từ mã là những trạng thái mà chúng ta liên kết với ví dụ logic

và

. Hoặc nói chung hơn bất kỳ trạng thái nào trong

được gọi là từ mã?

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

— Spaghettization lượng tử

Thuật ngữ có thể thay đổi một chút. Ví dụ: bạn đọc luận án của Gottesman và anh ta nói về một từ mã là bất kỳ trạng thái hợp lệ nào trong không gian mã và anh ta phân biệt 'từ mã cơ sở' là logic 0 và 1.

— DaftWullie

@QuantumSpaghettification: như DaftWullie gợi ý, tôi có nghĩa là bất cứ tiểu bang trong

. Nó thường là một sai lầm khi quá bận tâm với cơ sở tiêu chuẩn. Trong lịch sử, dễ nhất là mô tả một QECC liên quan đến khoảng của hai trạng thái cụ thể và để mô tả các thuộc tính sửa chữa theo hai trạng thái đó. Lý thuyết về mã ổn định làm cho loại mô tả này không cần thiết và cho phép bạn linh hoạt với khung tham chiếu logic là gì, vì vậy tốt hơn hết là tránh việc xác định mọi thứ theo cách nhấn mạnh cơ sở tiêu chuẩn.

C

$\mathcal C$

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Xin lỗi để quay lại bài đăng này hơn một tháng sau. Tôi có đúng không khi nói rằng ánh xạ

có thể là một-nhiều nếu ảnh hưởng của lỗi đối với "các từ mã cơ sở" bị suy giảm. Tôi đang suy nghĩ pha lật mã của Shor.

μ

$\mu$

— Spaghettization lượng tử

@QuantumSpaghettification: Như tôi đã mô tả nó ở đây, nó sẽ thực sự là cần thiết để lấy

được nhiều giá trị cho các thiết lập

để làm công việc tôi đã mô tả cho nó, cho một mã thoái hóa --- mà không phải là chính xác những gì Tôi dự định. Tôi sẽ sửa lại câu trả lời của tôi trong thời gian ngắn.

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

— Niel de Beaudrap

Một từ mã (đối với mã lượng tử) là trạng thái lượng tử thường được liên kết với một trạng thái trong cơ sở logic. Vì vậy, bạn sẽ có một số trạng thái rằng tương ứng với trạng thái 0 của qubit được mã hóa (bạn không cần phải sử dụng các qubit, nhưng có thể bạn đang có), và bạn sẽ có một mà nhân rằng tương ứng với 1 trạng thái của qubit được mã hóa. $|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

Không gian mã là không gian được kéo dài bởi các từ mã, tức là toàn bộ không gian cho tất cả các thể và (bình thường). $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

$S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$

— DaftWullie
nguồn

Trong mã sửa lỗi lượng tử, bạn lưu trữ một số qubit hợp lý , $k$ , trong trạng thái nhiều qubit vật lý, $n$ .

A code word is a state of the physical qubits that is associated with a specific logical state. So, for example, however you store the $|0\rangle$ state for one of your logical qubits is a code word.

The code space is the Hilbert space spanned by all possible code words. For a stabilizer code, this term is synonymous with the stabilizer space. Any state within this code space is a code word

A stabilizer code is a quantum error correcting code described by the stabilizer formalism. The stabilizer space is defined as the mutual $+1$ eigenspace of $n-k$ mutually commuting and independent tensor products of Pauli operators.

— James Wootton
nguồn