Tại sao điều quan trọng là Hamiltonian ban đầu không đi lại với Hamiltonian cuối cùng trong tính toán lượng tử đáng tin cậy?

19

Tôi đã đọc trong nhiều nguồn và sách về tính toán lượng tử đáng tin cậy (AQC) rằng điều quan trọng đối với Hamiltonian ban đầu là không đi làm với Hamiltonian , tức là . Nhưng tôi chưa bao giờ thấy một cuộc tranh cãi về lý do tại sao nó rất quan trọng. $\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$ $\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Nếu chúng ta giả sử sự phụ thuộc thời gian tuyến tính thì Hamilton của AQC là trong đó là thang đo thời gian đáng tin cậy.

\hat{H} (t) = = (1 - \frac{t}{τ}) {\hat{H}}_{tôi} + \frac{t}{τ} {\hat{H}}_{f}, (0 \leq t \leq τ)

$\hat{H}\left(t\right)~=~\left(1-\frac{t}{\tau}\right)\hat{H}_i+\frac{t}{\tau}\hat{H}_f, \qquad \left(0\leq t\leq \tau \right)$

τ

$\tau$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: Tại sao điều quan trọng là Hamiltonian ban đầu không đi lại với Hamiltonian cuối cùng?

annealing adiabatic-model

— Turbotanten
nguồn

13

Trong QC đáng tin cậy, bạn mã hóa vấn đề của mình theo Hamilton sao cho kết quả của bạn có thể được trích xuất từ trạng thái cơ bản. Chuẩn bị trạng thái cơ bản đó là khó thực hiện trực tiếp, vì vậy thay vào đó bạn chuẩn bị trạng thái cơ bản của một Hamiltonian 'dễ dàng', và sau đó từ từ nội suy giữa hai. Nếu bạn đi đủ chậm, trạng thái hệ thống của bạn sẽ ở trạng thái cơ bản. Khi kết thúc quá trình của bạn, bạn sẽ có giải pháp.

Điều này hoạt động theo định lý Adiabatic . Để định lý được giữ, phải có một khoảng cách năng lượng giữa trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đầu tiên. Khoảng cách càng nhỏ, bạn cần phải nội suy chậm hơn để tránh trộn lẫn giữa trạng thái cơ bản và trạng thái kích thích đầu tiên. Nếu khoảng cách đóng lại, việc trộn như vậy không thể ngăn chặn được và bạn không thể đi đủ chậm. Thủ tục thất bại tại thời điểm đó.

Nếu đi làm Hamiltonian ban đầu và cuối cùng, điều đó có nghĩa là chúng có cùng nguồn gốc năng lượng. Vì vậy, họ đồng ý về việc các quốc gia nhận được năng lượng được giao, và chỉ không đồng ý với các năng lượng họ nhận được. Nội suy giữa hai người Hamilton chỉ thay đổi năng lượng. Do đó, trạng thái mặt đất cuối cùng sẽ là trạng thái kích thích lúc ban đầu và trạng thái mặt đất ban đầu trở nên bị kích thích ở cuối. Tại một số điểm, khi đi qua nhau, năng lượng của các trạng thái này sẽ bằng nhau, và do đó khoảng cách giữa chúng đóng lại. Điều này là đủ để thấy rằng khoảng cách năng lượng phải đóng lại tại một số điểm.

Do đó, người Hamilton không đi lại là điều kiện cần thiết để giữ khoảng cách mở, và do đó cho AQC.

— James Wootton
nguồn

1

Điều này nghe có vẻ khá thuyết phục và rõ ràng. Bạn có thể giải thích rõ ràng lý do tại sao không thể tránh được sự vượt qua trong quá trình tiến hóa đáng tin cậy (điều này sẽ cho phép bản chất của trạng thái cơ bản thay đổi nhưng không bị thoái hóa)?

— agaitaarino

4

Nếu hai ma trận (trong trường hợp này là người Hamilton) đi lại, họ có cùng một hàm riêng. Vì vậy, nếu bạn chuẩn bị trạng thái cơ bản của Hamiltonian đầu tiên, thì điều đó (nói một cách đại khái) sẽ vẫn là một bản địa trong toàn bộ quá trình tiến hóa đáng tin cậy, và vì vậy bạn nhận ra những gì bạn đặt vào. Không có giá trị gì với nó.

Nếu bạn muốn nghiêm khắc hơn một chút, thì đó có thể là Hamiltonian ban đầu của bạn có sự thoái hóa được nâng lên bởi Hamiltonian thứ hai, và bạn có thể hy vọng sẽ khiến hệ thống phát triển thành trạng thái cơ bản duy nhất. Tuy nhiên, lưu ý rằng sự thoái hóa được loại bỏ ngay lập tức có một lượng khác không của Hamiltonian thứ hai. Bất cứ hiệu ứng nào nó có thể có là một tức thời. Tôi tin rằng bạn không có được một sự tiến hóa đáng tin cậy. Thay vào đó, bạn phải viết trạng thái ban đầu của mình dưới dạng chồng chất của các trạng thái riêng mới và chúng bắt đầu phát triển theo thời gian, nhưng bạn không bao giờ tăng sự chồng chéo của trạng thái của mình với trạng thái đích (trạng thái cơ bản).

— DaftWullie
nguồn

Chỉ tự hỏi nếu tuyên bố đầu tiên của bạn là đúng. Lấy ma trận Danh tính làm ví dụ, nó đi lại mỗi Hamilton. Nhưng chắc chắn không có lý do gì để ma trận danh tính có cùng các hàm riêng như một Hamiltonian tùy ý.

— Turbotanten

Bạn có thể phân tách danh tính nhiều trong bất kỳ cơ sở nào , bao gồm cả cơ sở của Hamilton. Nhưng vấn đề là nó rất thoái hóa, vì vậy sau đó bạn đang nói về đoạn thứ hai của tôi.

— DaftWullie

3

$\sigma^Z$ $t$

Hơn nữa, thậm chí vượt ra khỏi ranh giới nghiêm ngặt của AQC (ví dụ: ủ lượng tử hệ thống mở, QAOA, v.v.) nếu lái xe Hamilton đi lại thì nó không thể tạo ra sự chuyển tiếp giữa các nguyên tử của vấn đề Hamilton mà chỉ thay đổi pha của biên độ trong hàm sóng ; và bạn muốn một trình điều khiển có thể tạo ra các cú xoay để khám phá không gian tìm kiếm.

— Davide Venturelli
nguồn

1

$H_i$ $H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$ $|1\rangle$ $H_f$ $|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Điều này được đưa ra và giải thích trong phương trình. 2 của Tanburn và cộng sự. (2015) .

$\epsilon = 0.1$
$||H_i - H_f||^2 = 0.1$
$\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$ $\epsilon$
$\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$ $E_{\rm{gap}}=0$ $\tau$ $\infty$

Vì vậy, định lý tính toán vẫn được áp dụng, nhưng khi tuyên bố rằng Hamilton cần thay đổi "đủ chậm", hóa ra nó cần thay đổi "vô cùng chậm", điều đó có nghĩa là bạn sẽ không bao giờ nhận được câu trả lời khi sử dụng AQC.

— người dùng 1271772
nguồn

τ ≫ \frac{max_{0 \leq s \leq 1} | ⟨ ψ_{1} (s) | \frac{d \hat{H} (s)}{d s} | ψ_{0} (s) ⟩ |}{min_{0 \leq s \leq 1} Δ^{2} (s)}; s \equiv \frac{t}{τ}

$\tau \gg \frac{\underset{0\leq s \leq 1}{\text{max}} \left|\langle\psi_1(s)| \dfrac{d \hat{\mathscr{H}}(s)} {d s}|\psi_0(s)\rangle\right|} {\underset{0\leq s \leq 1}{\text{min}}\Delta^2(s)}; \qquad s\equiv\frac{t}{\tau}$

Δ^{2} (s) = (E_{1} (s) - E_{0} (s))^{2}

$\Delta^2(s) = (E_1(s)-E_0(s))^2$

@Turbotanten: Cảm ơn vì tiền thưởng. Bằng chứng của tôi hoạt động cho dù chúng tôi sử dụng 1 / gap ^ 2 hay 1 / gap ^ 3. Trong cả hai trường hợp gap = 0 có nghĩa là runtime = infinite. Trong biểu thức của bạn, chúng ta chỉ có thể có "max_s" ở bên ngoài, sau đó chúng ta không cần "min_s" trong mẫu số. Cũng tham khảo 2 bài báo Tanburn mà tôi liên kết, đưa ra công thức gap ^ 3, ràng buộc chặt chẽ hơn một chút so với công thức gap ^ 2. Nó vẫn còn phổ biến để sử dụng khoảng cách (hơi lỏng lẻo bị ràng buộc) ^ 2, chủ yếu là do một số người chưa xem tài liệu gần đây về khoảng cách ^ 3.

— 1271772