Tại sao cổng lượng tử đơn nhất và không đơn nhất đặc biệt?

11

Cho rằng các giai đoạn toàn cầu của các quốc gia không thể được phân biệt về mặt vật lý, tại sao các mạch lượng tử lại được đặt theo cụm từ phi pháp và không phải là đặc biệt? Một câu trả lời tôi nhận được là nó chỉ để thuận tiện nhưng tôi vẫn không chắc chắn.

Một câu hỏi liên quan là: có sự khác biệt nào trong việc triển khai vật lý của một (ma trận toán học) và , nói về một số cổng cơ bản không? Giả sử không có (đó là sự hiểu biết của tôi). Sau đó, việc triển khai vật lý của và phải giống nhau (chỉ cần thêm các điều khiển vào các cổng cơ bản). Nhưng sau đó tôi nhận được mâu thuẫn rằng và của hai trạng thái này có thể không tương đương với pha (như ma trận toán học), vì vậy có vẻ hợp lý chúng tương ứng với các triển khai vật lý khác nhau . $U$ $V: =e^{i\alpha}U$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$ $c\text{-}U$ $c\text{-}V$

Tôi đã làm gì sai trong lý luận của mình ở đây, bởi vì điều đó cho thấy bây giờ và phải được thực hiện khác nhau mặc dù chúng tương đương với pha? $U$ $V$

Một câu hỏi liên quan khác (thực tế là nguồn gốc của sự nhầm lẫn của tôi, tôi rất biết ơn câu trả lời cho câu hỏi này): dường như người ta có thể sử dụng một mạch lượng tử để ước tính cả mô đun và pha của sự chồng chéo phức tạp (xem https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Nhưng điều này không có nghĩa một lần nữa rằng và khác nhau về mặt đo lường? $\langle\psi|U|\psi\rangle$ $U$ $e^{i\alpha}U$

quantum-gate unitarity

— đc
nguồn

Thay vào đó, chính xác hơn về mặt triết học khi nói nhóm đơn nhất phóng chiếu . Đó là bởi vì hoạt động là lấy một ma trận đơn vị tùy ý và mất pha so với tập con mà pha đó là . Các bản đồ đi để chúng ở phía đối diện của mũi tên.

P U

$PU$

1

$1$

S U \to U \to P U

$SU \to U \to PU$

— AHusain

@AHusain "Bản đồ" là gì? Về mặt thương lượng, nó sẽ chuyển .

U \to S U \to P U

$U\to SU\to PU$

— Norbert Schuch

Số SU là tập hợp con có định thức 1, do đó, nó bao gồm một bản đồ vào U. PU là thương số. Bạn có thể lấy một đơn vị chiếu và đưa ra một đại diện trong SU với định thức 1, nhưng điều đó không tự động.

— AHusain

9

Ngay cả khi bạn chỉ giới hạn bản thân trong các hoạt động đơn nhất đặc biệt, các quốc gia vẫn sẽ tích lũy giai đoạn toàn cầu. Ví dụ: là đơn vị đặc biệt nhưng . $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$ $Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Nếu các quốc gia đang đi để tích lũy giai đoạn toàn cầu không quan sát được anyways , những gì lợi ích nào chúng ta thoát ra khỏi giới hạn chính mình để hoạt động đơn nhất đặc biệt không?

Có sự khác biệt nào trong việc triển khai vật lý của một đơn vị (ma trận toán học) và , nói về mặt một số cổng cơ bản không? $U$ $V :=e^{i\alpha}U$

Miễn là bạn không làm bất cứ điều gì có thể làm cho các giai đoạn toàn cầu có liên quan, chúng có thể có cùng cách thực hiện. Nhưng nếu bạn sẽ làm một cái gì đó như, uh-

thêm điều khiển vào cổng cơ bản

Vâng, như thế. Nếu bạn làm những thứ như vậy, thì bạn không thể bỏ qua các giai đoạn toàn cầu. Điều khiển biến các pha toàn cầu thành các pha tương đối. Nếu bạn muốn hoàn toàn bỏ qua giai đoạn toàn cầu, bạn không thể có một công cụ sửa đổi hoạt động "thêm điều khiển" hộp đen.

— Craig Gidney
nguồn

Cảm ơn, nhưng không tồn tại công cụ sửa đổi "thêm điều khiển" cho các cổng trong bộ cổng chung và trước tiên bạn có thể phân tách và thành các cổng này để thêm điều khiển, ví dụ: c- là cổng CNOT.

U

$U$

V

$V$

X

$X$

— dcw

1

@Daochen Có, bạn có thể làm điều đó, nhưng đó không phải là một ví dụ về việc thêm điều khiển trong khi bỏ qua giai đoạn toàn cầu của hoạt động phụ. Bạn sẽ phải quyết định rõ ràng về giai đoạn toàn cầu của hoạt động phụ khi quyết định chính xác hoạt động được kiểm soát tổng thể nên làm gì và làm thế nào để phân tách nó.

— Craig Gidney

8

Thực tế là các cửa lượng tử là đơn nhất, bắt nguồn từ thực tế là sự tiến hóa của các hệ lượng tử (đóng) là do phương trình Schrödiner. Trong một khoảng thời gian mà chúng tôi đang cố gắng thực hiện một phép biến đổi đơn nhất cụ thể với tốc độ không đổi, chúng tôi sử dụng phương trình Schrödinger độc lập với thời gian:

\frac{d}{d t} | ψ (t) ⟩ = \frac{1}{i ℏ} H | ψ (t) ⟩,

$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$

Trong đó là Hamilton của hệ thống: một ma trận Hermiti, có giá trị riêng mô tả các giá trị riêng năng lượng. Đặc biệt, giá trị riêng của là có thật. Giải pháp cho phương trình này là $H$ $H$

| ψ (t) ⟩ = \exp (- i H t / ℏ) | ψ (0) ⟩

$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$ trong đó là ma trận bạn có được bằng cách lấy vector riêng của , và thay thế của họ giá trị riêng với . Do đó, từ một ma trận có giá trị riêng thực, chúng ta có được một ma trận có giá trị riêng là số phức với định mức đơn vị.

U = \exp (- i H t / ℏ)

$U = \exp(-iHt/\hbar)$

H

$H$

E

$E$

e^{i E t / ℏ}

$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$

Điều gì sẽ làm cho sự tiến hóa này đặc biệt là một ma trận đơn vị đặc biệt? Một ma trận đơn vị đặc biệt là một ma trận có xác định chính xác là ; có nghĩa là, tất cả các giá trị riêng đều nhân với . Điều này tương ứng với hạn chế rằng các giá trị riêng của đều bằng không. Hơn nữa, vì giá trị riêng của là mức năng lượng, cho dù $1$ $1$ $H$ $H$ tổng giá trị riêng của nó bằng 0 phụ thuộc vào cách bạn quyết định sửa điểm năng lượng bằng 0 của bạn - điều này có hiệu lực trong sự lựa chọn chủ quan của khung tham chiếu. (Đặc biệt, nếu bạn quyết định chấp nhận quy ước rằng tất cả các mức năng lượng của bạn là không âm, điều này ngụ ý rằng sẽ không có hệ thống thú vị nào có thuộc tính của giá trị năng lượng tổng bằng không.)

Nói tóm lại, cổng là đơn nhất chứ không phải đơn nhất đặc biệt, bởi vì yếu tố quyết định của cổng không tương ứng với các tính chất có ý nghĩa vật lý - theo nghĩa rõ ràng là cổng phát sinh từ vật lý và các điều kiện tương ứng với yếu tố quyết định của cổng là 1 là một điều kiện của khung tham chiếu riêng của một người và không phải là động lực học vật lý.

— Niel de Beaudrap
nguồn

4

Ví dụ, khi viết các cổng cho sơ đồ mạch lượng tử, bạn luôn có thể viết chúng bằng cách sử dụng quy ước có một định thức (từ nhóm đơn vị đặc biệt), nhưng đó chỉ là quy ước. Nó làm cho không có sự khác biệt vật lý cho các mạch mà bạn thực hiện. Như đã nói ở những nơi khác , liệu những gì bạn sản xuất tự nhiên có tương ứng trực tiếp với đơn vị đặc biệt thực sự là một sự lựa chọn của quy ước và nơi bạn xác định năng lượng 0 của mình.

Đối với vấn đề khi bạn bắt đầu thực hiện kiểm soát- , có một so sánh thú vị được thực hiện. Giả sử chúng ta định nghĩa . Làm thế nào chúng ta có thể thực hiện kiểm soát- về mặt kiểm soát- ? Bạn áp dụng điều khiển- và sau đó, trên qubit điều khiển, bạn áp dụng cổng pha . Có hai điều cần quan sát ở đây. Đầu tiên, sự khác biệt nằm ở qubit kiểm soát hơn là qubit đích. Qubit mục tiêu, nơi bạn đang thực hiện $U$ $V=e^{i\alpha}$ $V$ $U$ $U$ $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$ $U$ , không thực sự quan tâm đến sự khác biệt trong giai đoạn. Đó là qubit kiểm soát mà cổng pha. Thứ hai là tôi đã không viết cổng pha như một đơn vị đặc biệt. Tất nhiên, tôi có thể đã viết nó dưới dạng nhưng tôi đã không làm thế bởi vì cách tôi chọn viết nó thuận tiện hơn về mặt lý thuyết - ít viết cho tôi hơn và hy vọng rõ ràng hơn ngay lập tức với bạn tại sao nó hoạt động. $\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

— DaftWullie
nguồn

0

Plain và câu trả lời đơn giản: Trong trường hợp không decoherence, vectơ trạng thái phát triển theocho một Hamilton. Đây là những gì một "cổng" đang làm. Người Hamilton phải là Hermiti, vì vậy sự chuyển đổi này là đơn nhất. Người Hamilton không phải có giá trị riêng bằng 0, vì vậy phép biến đổi không phải là đơn vị đặc biệt. $|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$ $H$

— người dùng 1271772
nguồn