Chuỗi ngắn nhất của các cổng lượng tử phổ quát tương ứng với một đơn vị nhất định

Câu hỏi: Cho một ma trận đơn vị tác động lên qubit, chúng ta có thể tìm thấy chuỗi ngắn nhất của cổng Clifford + T tương ứng với đơn vị đó không?$n$

Đối với nền tảng của câu hỏi, hai tài liệu tham khảo quan trọng:

1. Tổng hợp chính xác nhanh chóng và hiệu quả các đơn vị qubit đơn được tạo bởi các cổng Clifford và T của Kliuchnikov, Maslov và Mosca
2. Tổng hợp chính xác các mạch Clifford + T đa điểm của Giles và Selinger.

Nhận được một phân tách tối ưu chắc chắn là một vấn đề mở. (Và, tất nhiên, sự phân tách là không thể tìm thấy, cổng cho lớn .) Một câu hỏi "đơn giản hơn" bạn có thể hỏi đầu tiên là chuỗi cnots ngắn nhất và xoay qubit đơn theo góc nào, (IBM là gì , Rigetti và sắp tới Google cung cấp, cơ sở phổ biến này của các cổng có thể được thể hiện theo cơ sở của bạn về Cliffords và cổng t). Câu hỏi "đơn giản hơn" này cũng mở và có câu trả lời không độc đáo. Một câu hỏi liên quan là sự phân rã tối ưu chính xác của các cổng từ cơ sở phổ quát để đi từ trạng thái cơ bản đến trạng thái cuối cùng nhất định.$\exp(n)$$n$

Tôi giả sử bạn đang đề cập đến phân tách chính xác. Nếu bạn muốn phân tách gần đúng, có nhiều phương pháp khác nhau, chẳng hạn như phân tách Trotter-Suzuki, hoặc xấp xỉ một phân tách chính xác.

"Trình biên dịch csd lượng tử" trong Qubiter thực hiện phân tách không được tối ưu hóa của bất kỳ đơn vị n qubit nào thành các cnots và các rbit qubit đơn bằng cách sử dụng chương trình con csd (Phân tách Cosine-Sine) nổi tiếng từ LAPACK. Một số người dám nghĩ dám làm có thể cố gắng tìm tối ưu hóa cho trình biên dịch lượng tử của Qubiter. Bạn có thể sử dụng trình biên dịch của Qubiter, ví dụ (tôi đã viết một bài báo về điều này), để cho máy tính cổ điển của bạn khám phá lại sự phân tách Fourier Transform lượng tử của Coppersmith!

Qubiter là mã nguồn mở và có sẵn tại github (công bố đầy đủ - tôi đã viết nó).

Giả sử rằng có thể tổng hợp chính xác cho đơn vị được cung cấp của bạn (số lượng hạn chế về mặt lý thuyết trên các mục) và do đó, các thuật toán được mô tả trong câu hỏi đã cung cấp cho bạn một chuỗi các cổng Clifford + T thực hiện đơn vị đó. Như đã nêu trong bài báo Giles-Selinger, bạn nhận được một chuỗi rất xa tối ưu. Vì vậy, tại thời điểm này, bạn đã giảm được vấn đề từ trong nhóm được tạo bởi bộ cổng Clifford + T. Một số nhóm có thuật toán để rút ngắn một từ nhất định trong khi vẫn biểu diễn cùng một yếu tố của nhóm thành một dạng bình thường ngắn nhất trong lớp đó. Những người khác thì không.

Thêm chi tiết để minh họa cho nguyên tắc: Hãy để chúng tôi nói có qubit. Biểu thị v.v. cho trình tạo có cổng pha trên qubit , cho là điều khiển, v.v ... Mỗi một trong số chúng được coi là một chữ cái. Thuật toán sẽ phun ra một số từ trong các máy phát điện này. Nhóm là nhóm có các trình tạo này và nhiều mối quan hệ như và khi$2$$S_1$$1$$CNOT_{12}$$1$$S_i^4=1$$X_i Y_j = Y_j X_i$$i \neq j$giữa nhiều mối quan hệ khác. Vì vậy, điều này xác định một số nhóm được tạo ra hữu hạn. Vì chúng tôi có một từ từ các thuật toán được cung cấp nhưng chưa được tối ưu hóa, nên nhiệm vụ là cung cấp một hình thức bình thường ngắn nhất có thể thuận tiện trong vấn đề từ cho nhóm này. Vì vậy, nếu được cung cấp từ người ta có thể sử dụng mối quan hệ hai lần và mối quan hệ một lần để lấy là một từ ngắn hơn đại diện cho cùng một yếu tố nhóm. Đối với một bài thuyết trình nhóm nhất định, người ta muốn một thuật toán lấy một từ tùy ý và giảm nó. Nói chung điều này là không thể.$S_1 S_1 S_2 S_1 S_1$$S_1 S_2 = S_2 S_1$$S_1^4=1$$S_2$

Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm dưới đây: Dự án sắp tới / Liên doanh triển khai Haskell w / Jon Aytac.

Tôi không biết về khả năng giải quyết vấn đề từ cho bộ cổng Clifford + T, nhưng người ta có thể làm điều gì đó đơn giản hơn chỉ với các mối quan hệ (gọi chúng là ) trong tập hợp đó và chỉ các mối quan hệ của biểu mẫu . Đó là một nhóm Coxeter liên quan đến bộ cổng Clifford + T, nhưng với một vấn đề từ có thể giải quyết hiệu quả. Vì vậy, người ta có thể lấy kết quả của thuật toán Giles-Selinger và có khả năng rút ngắn nó chỉ bằng cách sử dụng các mối quan hệ rất đơn giản này (sau khi xem xét các phân đoạn chỉ với các chữ cái xâm lược đó). Trong thực tế, bất kỳ thuật toán nào có một đơn vị nhất định và xấp xỉ hoặc tổng hợp chính xác nó vào Clifford + T đều có thể được đưa vào thủ tục này để có khả năng rút ngắn nó một chút.$r_i$$(r_i r_j)^{m_{ij}}=1$