Tôi đang học Máy tính lượng tử và Thông tin. Tôi đã vượt qua cụm từ 'Surface Code' nhưng tôi không thể tìm thấy lời giải thích ngắn gọn về nó là gì và cách thức hoạt động của nó. Hy vọng các bạn có thể giúp tôi với điều này.

Lưu ý: Nếu bạn thích bạn có thể sử dụng một số phép toán phức tạp, tôi quen thuộc với cơ học lượng tử ở một mức độ nào đó.

error-correction terminology

— Ivanovitch
nguồn

Chào mừng bạn Để làm rõ: các câu trả lời có nên giả sử rằng bạn đã xem xét cấp độ wikipedia về mã toric và mã ổn định không?

— agaitaarino

Tôi không biết về mã toric hoặc mã ổn định: | Nhưng tôi sẽ đọc về nó

— Ivanovitch

Tốt đẹp! Sau đó, đó nên là một khởi đầu tuyệt vời tôi nghĩ. Tôi đề nghị có lẽ nên xem nhanh những điều đó và đưa thêm một số chi tiết vào câu hỏi: những điều mà bạn đã nghĩ rằng bạn hiểu và những thứ khác chưa có nhiều ý nghĩa. Khi đã trả lời, đây có thể là một câu hỏi và trả lời rất hữu ích cho những người đến sau bạn: đây là những khái niệm quan trọng và thuật ngữ này thực sự hơi khó hiểu.

— agaitaarino

Liên quan: "Sửa lỗi lượng tử: Mã bề mặt so với mã màu" từ SE.Physics.

— Nat

Tôi không biết về tóm tắt, nhưng arxiv.org/abs/1208.0928 là nơi tôi bắt đầu tìm hiểu về mã bề mặt từ đó.

— Craig Gidney

Các mã bề mặt là một họ các mã sửa lỗi lượng tử được xác định trên một mạng qubit 2D. Mỗi mã trong họ này có các bộ ổn định được xác định tương đương với số lượng lớn, nhưng khác nhau trong các điều kiện biên của chúng.

Các thành viên của họ mã bề mặt đôi khi cũng được mô tả bằng các tên cụ thể hơn: Mã toric là mã bề mặt với các điều kiện biên định kỳ, mã phẳng là một mã được định nghĩa trên mặt phẳng, v.v. có thể hoán đổi với 'mã phẳng', vì đây là ví dụ thực tế nhất về họ mã bề mặt.

Các mã bề mặt hiện đang là một lĩnh vực nghiên cứu lớn, vì vậy tôi sẽ chỉ cho bạn một số điểm vào tốt (ngoài bài viết Wikipedia được liên kết ở trên).

Các mã bề mặt cũng có thể được khái quát thành các qudits. Để biết thêm về điều đó, xem ở đây .

— James Wootton
nguồn

Liệu các mã bề mặt chỉ hoạt động cho các máy tính lượng tử tôpô?

— Ivanovitch

Các mã bề mặt sẽ làm việc cho bất kỳ qubit. Ở một khía cạnh nào đó, với các mã bề mặt, bạn đang tạo ra một máy tính lượng tử tôpô sử dụng các qubit không tôpô.

— James Wootton

Thuật ngữ của 'mã bề mặt' là một chút biến. Nó có thể đề cập đến cả một nhóm các sự vật, các biến thể của mã Toric trên các mạng khác nhau hoặc có thể đề cập đến mã Planar, biến thể cụ thể trên một mạng vuông có điều kiện biên mở.

Bộ luật Toric

Tôi sẽ tóm tắt một số thuộc tính cơ bản của mã Toric. Hãy tưởng tượng một mạng vuông với các điều kiện biên định kỳ, tức là cạnh trên được nối với cạnh dưới và cạnh trái được nối với cạnh phải. Nếu bạn thử điều này với một tờ giấy, bạn sẽ thấy bạn có hình dạng bánh rán hoặc hình xuyến. Trên mạng này, chúng tôi đặt một qubit trên mỗi cạnh của hình vuông.

Chất ổn định

Tiếp theo, chúng tôi xác định một loạt các toán tử. Với mỗi ô vuông trên mạng (bao gồm 4 qubit ở giữa mỗi cạnh), chúng ta viết hiện phép quay Pauli- trên mỗi 4 qubit. Nhãn đề cập đến 'plaquette', và chỉ là một chỉ mục để sau này chúng ta có thể đếm trên toàn bộ bộ plaquettes. Trên mỗi đỉnh của mạng (được bao quanh bởi 4 qubit), chúng tôi xác định đề cập đến hình dạng ngôi sao và một lần nữa, chúng ta sẽ tổng hợp tất cả các điều khoản đó.

B_{p} = X X X X,

$B_p=XXXX,$

X

$X$

p

$p$

A_{s} = Z Z Z Z .

$A_s=ZZZZ.$

s

$s$

Chúng tôi quan sát rằng tất cả các điều khoản này cùng đi lại. Đó là chuyện nhỏ đối với vì các toán tử Pauli tự đi lại và . Cần phải cẩn thận hơn với , bot lưu ý rằng hai thuật ngữ này có 0 hoặc 2 trang web chung và các cặp toán tử Pauli khác nhau đi lại, . $[A_s,A_{s'}]=[B_p,B_{p'}]=0$ $\mathbb{I}$ $[A_s,B_p]=0$ $[XX,ZZ]=0$

Không gian mã

Vì tất cả các toán tử này đều có thể đi lại, chúng ta có thể xác định một trạng thái riêng đồng thời của tất cả chúng, một trạng thái sao cho Điều này xác định không gian mã của mã. Chúng ta nên xác định nó lớn như thế nào. $|\psi\rangle$

\forall s : A_{s} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ \forall p : B_{p} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ .

$\forall s:A_s|\psi\rangle=|\psi\rangle\qquad\forall p:B_p|\psi\rangle=|\psi\rangle.$

Đối với một mạng , có qubit, vì vậy kích thước không gian Hilbert là . Có thuật ngữ hoặc , mà chúng tôi gọi chung là các chất ổn định. Mỗi cái có giá trị riêng (để xem, chỉ cần lưu ý rằng ) với số lượng bằng nhau và khi chúng ta kết hợp chúng, mỗi nửa sẽ có kích thước của không gian Hilbert, tức là chúng ta sẽ nghĩ rằng điều này duy nhất xác định một trạng thái. $N\times N$ $N^2$ $2^{N^2}$ $N^2$ $A_s$ $B_p$ $\pm 1$ $A_s^2=B_p^2=\mathbb{I}$

Tuy nhiên, bây giờ, hãy quan sát rằng : mỗi qubit được bao gồm trong hai ngôi sao và hai plaquettes. Điều này có nghĩa là một trong những và một trong phụ thuộc tuyến tính vào tất cả những cái khác và không làm giảm thêm kích thước của không gian Hilbert. Nói cách khác, các mối quan hệ ổn định xác định một không gian Hilbert của chiều 4; mã có thể mã hóa hai qubit. $\prod_sA_s=\prod_pB_p=\mathbb{I}$ $A_s$ $B_p$

Toán tử logic

Làm thế nào để chúng ta mã hóa trạng thái lượng tử trong mã Toric? Chúng ta cần biết các toán tử logic: , , và . Tất cả bốn phải đi lại với tất cả các chất ổn định, và độc lập tuyến tính với chúng, và phải tạo ra đại số của hai qubit. Giao hoán của các toán tử trên hai qubit logic khác nhau: và chống giao hoán của hai trên mỗi qubit: $X_{1,L}$ $Z_{1,L}$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$

[X_{1, L}, X_{2, L}] = 0 [X_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, X_{2, L}] = 0

$[X_{1,L},X_{2,L}]=0\quad [X_{1,L},Z_{2,L}]=0 \quad [Z_{1,L},Z_{2,L}]=0\quad [Z_{1,L},X_{2,L}]=0$

{X_{1, L}, Z_{1, L}} = 0 {X_{2, L}, Z_{2, L}} = 0

$\{X_{1,L},Z_{1,L}\}=0\qquad\{X_{2,L},Z_{2,L}\}=0$

Có một vài quy ước khác nhau về cách gắn nhãn cho các toán tử khác nhau. Tôi sẽ đi với sở thích của tôi (có lẽ là ít phổ biến hơn):

Lấy một đường ngang trên lưới. Trên mỗi qubit, áp dụng . Đây là . Trong thực tế, bất kỳ đường ngang là tốt như nhau. $Z$ $Z_{1,L}$
Lấy một đường thẳng đứng trên mạng. Trên mỗi qubit, áp dụng . Đây là (quy ước khác sẽ gắn nhãn là ) $Z$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$
Lấy một dải ngang của qubit, mỗi cái nằm ở giữa một cạnh thẳng đứng. Trên mỗi qubit, áp dụng . Đây là . $X$ $Z_{2,L}$
Lấy một dải qubit dọc, mỗi cái nằm ở giữa một cạnh ngang. Trên mỗi qubit, áp dụng . Đây là . $X$ $X_{1,L}$

Bạn sẽ thấy rằng các nhà khai thác mà có nghĩa vụ phải chống đi lại gặp nhau tại đúng một trang web, với và . $X$ $Z$

Cuối cùng, chúng tôi xác định trạng thái cơ sở logic của mã bằng

| ψ_{x, y} ⟩ : Z_{1, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{x} | ψ_{x, y} ⟩, Z_{2, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{y} | ψ_{x, y} ⟩

$|\psi_{x,y}\rangle: Z_{1,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^x|\psi_{x,y}\rangle,\qquad Z_{2,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^y|\psi_{x,y}\rangle$

Khoảng cách của mã là vì chuỗi ngắn nhất của các toán tử qubit đơn chuyển đổi giữa hai trạng thái logic tạo thành các toán tử Pauli trên một vòng quanh hình xuyến. $N$ $N$

Phát hiện lỗi và sửa lỗi

Khi bạn có mã, với một số qubit được lưu trữ trong không gian mã, bạn muốn giữ nó ở đó. Để đạt được điều này, chúng ta cần sửa lỗi. Mỗi vòng sửa lỗi bao gồm đo giá trị của mọi chất ổn định. Mỗi và đưa ra câu trả lời . Đây là hội chứng lỗi của bạn. Điều đó tùy thuộc vào bạn, tùy thuộc vào mô hình lỗi nào bạn nghĩ áp dụng cho hệ thống của mình, để xác định nơi bạn nghĩ rằng các lỗi đã xảy ra và cố gắng khắc phục chúng. Có rất nhiều công việc đang diễn ra với các bộ giải mã nhanh có thể thực hiện tính toán cổ điển này một cách hiệu quả nhất có thể. $A_s$ $B_p$ $\pm 1$

Một tính năng quan trọng của mã Toric là bạn không phải xác định chính xác nơi xảy ra lỗi để sửa lỗi hoàn toàn; mã bị suy biến . Điều duy nhất có liên quan là bạn thoát khỏi các lỗi mà không thực hiện một cổng logic. Ví dụ, đường màu xanh lục trong hình là một trong những lỗi cơ bản trong hệ thống, được gọi là cặp bất kỳ. Nếu chuỗi các phép quay được mô tả đã được ban hành, thì các chất ổn định trên hai hình vuông có các đốm màu xanh lục sẽ có câu trả lời , trong khi tất cả các số khác cho . Để sửa lỗi này, chúng ta có thể áp dụng $X$ $-1$ $+1$ $X$ dọc theo chính xác đường dẫn xảy ra lỗi, mặc dù hội chứng lỗi của chúng tôi chắc chắn không cung cấp cho chúng tôi thông tin đường dẫn. Có nhiều đường dẫn khác của lỗi sẽ gây ra hội chứng tương tự. Chúng tôi có thể thực hiện bất kỳ trong số này, và có hai lựa chọn. Hoặc, chuỗi tổng thể của các phép quay tạo thành một đường nhỏ hoặc một vòng lặp xung quanh hình xuyến ít nhất là theo hướng. Nếu đó là một đường dẫn tầm thường (nghĩa là một đường dẫn tạo thành một đường dẫn khép kín không vòng quanh hình xuyến), thì chúng ta đã sửa lỗi thành công. Đây là trung tâm của bản chất tô pô ; nhiều con đường là tương đương, và tất cả đều phụ thuộc vào việc các vòng lặp xung quanh hình xuyến đã được hoàn thành hay chưa. $X$ $X$

Lỗi sửa ngưỡng

Mặc dù khoảng cách của mã là , nhưng không phải mọi trường hợp kết hợp lỗi gây ra lỗi logic. Thật vậy, phần lớn các lỗi có thể được sửa chữa. Chỉ một khi các lỗi trở thành mật độ cao hơn nhiều thì việc sửa lỗi không thành công. Có những bằng chứng thú vị tạo ra các kết nối với chuyển pha hoặc mô hình Ising trái phiếu ngẫu nhiên, rất tốt trong việc ghim xuống khi đó. Ví dụ: nếu bạn lấy mô hình lỗi trong đó lỗi và xảy ra độc lập ngẫu nhiên trên mỗi qubit với xác suất , thì ngưỡng là khoảng , tức là $N$ $N$ $N$ $X$ $Z$ $p$ $p=0.11$ $11\%$ . Nó cũng có ngưỡng chịu lỗi hữu hạn (nơi bạn cho phép đo và sửa lỗi với một số tỷ lệ lỗi trên mỗi qubit)

Mã phẳng

Các chi tiết giống hệt với mã Toric, ngoại trừ các điều kiện biên của mạng được mở thay vì định kỳ. Người đàn ông này, ở các cạnh, các chất ổn định được xác định hơi khác nhau. Trong trường hợp này, chỉ có một qubit logic trong mã thay vì hai.

— DaftWullie
nguồn

'Mã bề mặt' là gì? (Sửa lỗi lượng tử)