Mô hình kênh lượng tử

Cái gọi là kênh khử cực là mô hình kênh được sử dụng chủ yếu khi xây dựng mã sửa lỗi lượng tử. Hoạt động của kênh đó trong trạng thái lượng tử là$\rho$

$\rho\rightarrow(1-p_x-p_y-p_z)\rho+p_xX\rho X+p_yY\rho Y+p_zZ\rho Z$

Tôi đã tự hỏi những mô hình kênh nào khác được xem xét trong truyền thông lượng tử và việc xây dựng mã sửa lỗi bị ảnh hưởng như thế nào bằng cách xem xét các kênh khác.

Đầu tiên hãy để tôi đề cập đến một điểm nhỏ liên quan đến thuật ngữ. Loại kênh bạn đang đề xuất thường được gọi là kênh Pauli ; kênh khử cực thuật ngữ thường đề cập đến trường hợp .$p_x = p_y = p_z$

Dù sao, thật không đúng khi nói rằng các kênh Pauli là mô hình kênh được xem xét để sửa lỗi lượng tử. Mã sửa lỗi lượng tử tiêu chuẩn có thể bảo vệ chống lại tùy ý lỗi (được biểu thị bằng bất kỳ kênh lượng tử nào bạn có thể chọn) miễn là các lỗi không ảnh hưởng đến quá nhiều qubit.

Ví dụ: chúng ta hãy xem xét một lỗi đơn qubit tùy ý, được biểu thị bằng một kênh ánh xạ một qubit thành một qubit. Một kênh như vậy có thể được thể hiện dưới dạng Kraus là cho một số lựa chọn của nhà khai thác Kraus . (Đối với kênh qubit, chúng tôi luôn có thể lấy nếu muốn.) Ví dụ: bạn có thể chọn các toán tử này sao chođối với mọi trạng thái qubit , bạn có thể làm cho lỗi đơn nhất hoặc bất cứ điều gì bạn chọn. Sự lựa chọn thậm chí có thể là nghịch cảnh, được chọn sau khi bạn biết cách mã hoạt động.$\Phi$

$$\Phi(\rho) = A_1 \rho A_1^{\dagger} + \cdots + A_m \rho A_m^{\dagger}$$ $A_1,\ldots,A_m$$m = 4$$\Phi(\rho) = |0\rangle \langle 0|$$\rho$

Mỗi toán tử Kraus có thể được biểu diễn dưới dạng kết hợp tuyến tính của các toán tử Pauli, bởi vì các toán tử Pauli tạo thành một cơ sở cho không gian của 2 ma trận phức: Nếu bạn bây giờ mở rộng đại diện Kraus của ở trên, bạn sẽ nhận được biểu thức lộn xộn trong đó trông giống như một tổ hợp tuyến tính của các toán tử có dạng trong đó và ,$A_k$

$$A_k = a_k I + b_k X + c_k Y + d_k Z.$$ $\Phi$$\Phi(\rho)$$P_i \rho P_j$$i,j\in\{1,2,3,4\}$$P_1 = I$$P_2 = X$ , và P 4 = Z .$P_3 = Y$$P_4 = Z$

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng bạn có một mã sửa lỗi lượng tử bảo vệ chống lại lỗi , Y hoặc Z trên một qubit. Cách thông thường này hoạt động là một số qubit phụ ở trạng thái 0 được xử lý theo dữ liệu được mã hóa và một thao tác đơn nhất được thực hiện để tính toán ngược lại các qubit phụ này một hội chứng mô tả lỗi nào xảy ra, nếu có, và qubit nào bị ảnh hưởng.$X$$Y$$Z$

Giả sử rằng lỗi tùy ý xảy ra trên qubit đầu tiên vì đơn giản, sau khi tính toán hội chứng bạn sẽ kết thúc với một trạng thái đó trông giống như một sự kết hợp tuyến tính của các điều khoản như thế này: P i | ψ ⟩ ⟨ ψ | P j ⊗ | P $\Phi$ Giả định ở đây là | ψ ⟩ đại diện cho dữ liệu được mã hóa mà không cần bất kỳ tiếng ồn, P i và P j hành động dựa trên các qubit đầu tiên, và rằng " P i hội chứng" và " P j hội chứng" đề cập đến các quốc gia cơ sở tiêu chuẩn mà chỉ ra rằng các lỗi đã xảy ra vào ngày đầu tiên qubit. (Tình huống tương tự đối với lỗi ảnh hưởng đến bất kỳ qubit nào khác; Tôi chỉ cố gắng giữ cho ký hiệu đơn giản bằng cách giả sử lỗi xảy ra với qubit đầu tiên.)

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_j \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_j\:\text{syndrome}|.$$ $|\psi\rangle$$P_i$$P_j$$P_i$$P_j$

Bây giờ điều quan trọng là bạn đo lường hội chứng để xem lỗi nào đã xảy ra và tất cả các thuật ngữ chéo biến mất vì phép đo. Bạn bị bỏ lại với một hỗn hợp xác suất của các trạng thái trông giống như Lỗi được sửa chữa và trạng thái ban đầu được phục hồi. Trên thực tế, bằng cách đo lường hội chứng, bạn "chiếu" hoặc "thu gọn" lỗi thành thứ gì đó trông giống như kênh Pauli.

$$P_i |\psi\rangle \langle \psi| P_i \otimes |P_i\: \text{syndrome}\rangle\langle P_i\:\text{syndrome}|.$$

Tất cả điều này được mô tả (hơi ngắn gọn) trong Phần 10.2 của Nielsen và Chuang.