Bằng chứng về sự bất bình đẳng thông tin Holevo

Giả sử tôi có một cổ điển cổ điển-lượng tử kênh $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , nơi $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ là tập hữu hạn và $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ là tập hợp các ma trận mật độ trên hữu hạn chiều, phức tạp không gian Hilbert $\mathcal{H}$ .

Giả sử $p_x$ là sự phân bố đồng đều trên $\mathcal{X}$ và $p_y$ là sự phân bố đồng đều trên $\mathcal{Y}$ . Hơn nữa, xác định cho các bản phân phối $p_1$ trên $\mathcal{X}$ và $p_2$ trên $\mathcal{Y}$ , thông tin Holevo

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

Trong đó $H$ là entropy von Neumann.

Tôi muốn hiển thị, cho

p_{1} : = \underset{p}{bữa tối} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} : = \underset{p}{bữa tối} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$ đó,

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) và χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Cho đến nay, tôi vẫn chưa tin rằng tuyên bố này là đúng ngay từ đầu. Tôi đã không đạt được nhiều tiến bộ trong việc chứng minh điều này, nhưng có vẻ như một số bất đẳng thức tam giác có thể xác minh yêu cầu này.

Cảm ơn cho bất kỳ đề xuất liên quan đến nếu tuyên bố nên giữ và lời khuyên về cách chứng minh nó.

quantum-information entropy

— Stephen Diadamo
nguồn

Như câu trả lời cho thấy, tôi đã có ý định sử dụng argmax chứ không phải supremum.

— Stephen Diadamo

Có vẻ như tuyên bố là không đúng sự thật nói chung. Giả sử , là không gian Hilbert tương ứng với một qubit duy nhất và được định nghĩa là $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$ Nếulà phân phối thống nhất, sự lựa chọn tối ưu cholàvà, mang đến cho, đó là tối đa giá trị có thể. (Tôi giả sử bạn có nghĩa là xác địnhvà

\begin{aligned} W (0, 0) & = = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$ như argmax của các biểu thức đó, không phải là supremum.) Tương tự, nếu

là đồng nhất,

và

là tối ưu và giá trị là như nhau. Tuy nhiên,

, do đó bất bình đẳng không giữ.

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

— John Watky
nguồn