Đưa thông tin cổ điển vào định mức của trạng thái lượng tử

Theo Giới thiệu về học máy lượng tử (Schuld, Sinayskiy & Petruccione, 2014) , Seth Lloyd et al. nói trong bài báo của họ: các thuật toán lượng tử cho giám sát và không có giám sát máy học thông tin cổ điển có thể được mã hóa thành các chuẩn mực của một trạng thái lượng tử $\langle x|x \rangle = |\vec{x}|^{-1}\vec{x}$ . Tôi không chắc là tôi hiểu ký hiệu của họ.

Hãy lấy một ví dụ đơn giản. Giả sử tôi muốn lưu trữ mảng này: có kích thước ở trạng thái hệ thống lượng tử bit. $V = \{3,2,1,2,3,3,5,4\}$ $2^{3}$ $3$

Tôi có thể biểu thị trạng thái của hệ thống bit như: $3$

Tôi có thể biểu diễn dưới dạng vectơ trong đó tạo thành một cơ sở trực giao trong và viết định mức Euclide chuẩn cho nó là . $V$ $\vec{V} = 3 \hat{x}_1 + 2 \hat{x}_2 +... + 4 \hat{x}_8$ $\{\hat{x}_1,\hat{x}_2,...,\hat{x}_8\}$ $\Bbb R^{8}$ $|\vec{V}|=\sqrt{3^2+2^2+...+4^2}$

Sau này, tôi bối rối không biết làm thế nào tôi có được các hệ số . Nên tôi chỉ gán để , để và vân vân? $a_1,a_2,..,a_8$ $3$ $a_1$ $2$ $a_2$

Nhưng, sau đó một lần nữa :

Xét vectơ vectơ phức phức với các thành phần . Giả sử rằng được lưu dưới dạng số dấu phẩy động trong bộ nhớ truy cập ngẫu nhiên lượng tử. Xây dựng trạng thái lượng tử qubit sau đó thực hiện các bước miễn là phụ -norms cũng được đưa ra trong qRAM trong trường hợp bất kỳ trạng thái nào cũng có thể được xây dựng trong các bước . $N=2^{n}$ $\vec{v}$ $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$ $\{|v_i|,\phi_i\}$ $\log_2 N$ $|v\rangle = |\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $\mathcal{O}(\log_2 N)$ $\mathcal{O}(\log N)$

Đầu tiên , tôi không hiểu khái niệm của họ về một vectơ phức chiều . Nếu mỗi thành phần của mảng dữ liệu cổ điển của chúng có hai số dấu phẩy động, thì việc mã hóa thành trạng thái lượng tử -bitbit tương đương với việc lưu trữ một mảng cổ điển có kích thước trong hệ thống -qubit ? Có, tôi biết rằng là các số phức có cả độ lớn và hướng và do đó có thể lưu trữ lượng thông tin cổ điển. Nhưng họ không đề cập đến bất cứ nơi nào họ sẽ chuyển đổi dữ liệu cổ điển (giả sử dưới dạng $2^n$ $n$ $2\times 2^{n}$ $n$ $a_1,a_2,..,a_{2^n}$ $2\times 2^{n}$ $2\times 2^{n}$ mảng) vào dạng đó. Hơn nữa, dường như có một hạn chế là pha của số phức chỉ có thể nằm trong khoảng từ đến . $a_i$ $-\pi$ $+\pi$

Thứ hai , chúng ta hãy giả sử rằng mảng dữ liệu ban đầu mà chúng ta muốn lưu trữ trong hệ thống lượng tử của chúng ta thực sự là . $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$

Nếu họ định nghĩa là thì trong ví dụ của chúng tôi sẽ trông giống như . Nhưng sau đó chúng ta sẽ mất tất cả thông tin về các giai đoạn , phải không? Vì vậy, việc sử dụng bắt đầu với một vectơ phức tạp (có cả pha và cường độ) ở vị trí đầu tiên là gì, khi chúng ta mất thông tin đó khi chuyển đổi sang ? Hoặc chúng ta viết nên xem xét như $|v\rangle$ $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ $\phi_i$ $|V\rangle$ $|V\rangle$ $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$ ?

Sẽ thực sự hữu ích nếu ai đó có thể giải thích tôi đang sai ở đâu khi sử dụng một số ví dụ cụ thể liên quan đến việc lưu trữ dữ liệu cổ điển trong hệ thống -bitbit. $n$

quantum-information quantum-state machine-learning

— Daya
nguồn

Schuld và cộng sự. bài báo được viết khá sớm trong thời đại "học máy lượng tử" và tôi chưa bao giờ có hứng thú sâu sắc với việc học máy máy lượng tử (chưa) dành quá nhiều thời gian để học nó. Vì vậy, tôi sẽ không cố gắng trả lời câu hỏi, nhưng một điều tôi có thể đóng góp là trả lời sự nhầm lẫn của bạn về sự hạn chế cho giai đoạn phức tạp nằm giữa và . Phạm vi này của đến thực sự không phải là "hạn chế" bởi vì nó bao gồm tất cả các giai đoạn toán học có thể tồn tại. đến có nghĩa là -180 đến 180 độ, là một vòng tròn đầy đủ.

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

— 1271772

Bất cứ điều gì vượt quá phạm vi của đến cũng giống như nói 370 độ, đó là một vòng tròn hoàn chỉnh cộng thêm 10 độ. Vì vậy, 370 độ tương đương với 10 độ và tương tự như vậy đối với mọi thứ nằm ngoài phạm vi đến .

- π

$-\pi$

π

$\pi$

- π

$-\pi$

π

$\pi$

— 1271772

Tôi không hiểu khái niệm của họ về một chiều phức tạp vector. Nếu mỗi thành phần của mảng dữ liệu cổ điển của chúng có hai số dấu phẩy động, thì việc mã hóa thành trạng thái lượng tử -bit có tương đương với việc lưu trữ mảng cổ điển kích thước trong hệ thống -bit không? $2^n$ $n$ $2\times 2^{n}$ $n$

Bạn hoàn toàn chính xác rằng một mảng nubers cổ điển được lưu trữ trong một hệ thống n-qubit. $2\times 2^n$

Nhưng họ hoàn toàn đúng khi kích thước của vectơ là . Điều này là do vectơ có hàng, trong đó mỗi mục có 2 số cổ điển. $2^n$ $2^n$

Bạn cũng có thể lưu trữ cùng một vectơ trong một mảng : hàng được điền vào các phần thực và hàng bằng các phần ảo, nhưng vectơ này sẽ không phát triển theo phương trình Schrödinger . $2\times 2^n$ $2^n$ $2^n$

Tôi hy vọng điều này sẽ giúp giải quyết phần này của câu hỏi.

Nhưng họ không đề cập đến bất cứ nơi nào họ sẽ chuyển đổi dữ liệu cổ điển (dưới dạng mảng ) thành dạng đó. $2\times 2^{n}$

Bạn đúng rồi. Giống như Peter Shor chưa bao giờ đề cập đến bất cứ nơi nào các qubit của ông cho bao thanh toán sẽ được chuẩn bị.

Điều này phụ thuộc vào các nhà thực nghiệm và nó phụ thuộc vào việc thực hiện . Điều này có nghĩa là đối với các qubit NMR, bạn chuyển đổi dữ liệu cổ điển thành các qubit khác với các qubit siêu dẫn, hoặc qubit bẫy ion, hoặc qubit chấm lượng tử, v.v. bạn đã đề cập (tất cả đều là nhà lý thuyết), vì không giải thích được các qubit sẽ được chuẩn bị như thế nào.

chúng ta hãy giả định rằng mảng dữ liệu ban đầu chúng tôi muốn để lưu trữ trong hệ thống lượng tử của chúng tôi đã thực sự . Nếu họ xác định như sau đó trong ví dụ của chúng ta sẽ giống như thế $V=\{\{3,\phi_1\},\{2,\phi_2\},...,\{4,\phi_8\}\}$ $|v\rangle$ $|\vec{v}|^{-1/2}\vec{v}$ $|V\rangle$ . Nhưng sau đó chúng ta sẽ mất tất cả thông tin về các giai đoạn $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(|3e^{i\phi_1}||000\rangle + |2e^{i\phi_2}||001\rangle + ... + |4e^{i\phi_8}||111\rangle)$ , phải không? Vì vậy, việc sử dụng bắt đầu với mộtvectơphức tạp(có cả pha và cường độ) ở vị trí đầu tiên là gì, khi chúng ta mất thông tin đó khi chuyển đổi sang không? $\phi_i$ $|V\rangle$

Bạn đã có nó trước đó trong câu hỏi của bạn! "Xét vectơ vectơ phức với các thành phần ." Do đó, vectơ là: $N=2^{n}$ $\vec{v}$ $\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$

| \vec{v} |^{- 1 / 2} (\begin{matrix} | v_{1} | e^{i ϕ_{1}} \\ | v_{2} | e^{i ϕ_{2}} \\ ⋮ \\ | v_{2^{n}} | e^{i ϕ_{2^{n}}} \end{matrix})

$\begin{equation} |\vec{v}|^{-1/2} \begin{pmatrix}|v_{1}|e^{i\phi_{1}}\\ |v_{2}|e^{i\phi_{2}}\\ \vdots\\ |v_{2^{n}}|e^{i\phi_{2^{n}}} \end{pmatrix} \end{equation}$

Lưu ý:
1) Có mục, không phải 2) KHÔNG có quy tắc xung quanh các giai đoạn, vì vậy đây là lý do tại sao bạn mất tất cả thông tin về các giai đoạn, vì bạn đặt các ký hiệu định mức bổ sung trong đó chúng không nên: ) $2^n$ $2 \times 2^n$

Hoặc chúng ta viết nên xem xét như $|V\rangle$ ? $(\sqrt{3^2+2^2+...+4^2})^{-1/2}(3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_2}|001\rangle + ... + 4e^{i\phi_8}|111\rangle)$

Gần hơn! Câu trả lời đúng là vectơ tôi đã viết ở trên, có thể được viết như thế này:

. $|\vec{v}|^{-1/2}\left( e^{i \phi_1} |00 \cdots 00\rangle + e^{i \phi_2} |00 \cdots 01\rangle + \cdots + e^{i \phi_{N}} |1\cdots 1\rangle\right)$

Ví dụ cụ thể của bạn :

\frac{3 e^{i ϕ_{1}} | 000 ⟩ + 2 e^{i ϕ_{8}} | 001 ⟩ + \dots + 4 e^{i ϕ_{8}} | 111 ⟩}{\sqrt{77}}

$\begin{equation} \frac{3e^{i\phi_1}|000\rangle + 2e^{i\phi_8}|001\rangle + \cdots + 4e^{i\phi_8}|111\rangle}{\sqrt{77}} \end{equation}$

Mục đích của tất cả những điều này là sao cho tổng bình phương của các hệ số là 1, điều này trong phương trình của tôi là đúng vì bộ đánh số là:

\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{77}

$\begin{equation} \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 5 ^2+ 4^2} = \sqrt{77} \end{equation}$

Tôi hy vọng rằng sẽ xóa nó!

— người dùng 1271772
nguồn

Ừm, nhưng

không phải là nó? Đâu là

trong biểu hiện của bạn?

| V ⟩ = | \vec{V} |^{- 1 / 2} \vec{V}

$|V\rangle = |\vec{V}|^{-1/2}\vec{V}$

| \vec{V} |^{- 1 / 2}

$|\vec{V}|^{-1/2}$

— Sanchaya Dutta

Nhưng

. Vì vậy,

, không có? Hay họ đang sử dụng một định nghĩa khác về định mức?

| \vec{V} | = \sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 4^{2}} = \sqrt{77}

$|\vec{V}| = \begin{equation} \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 3^2 + 5 ^2+ 4^2} = \sqrt{77} \end{equation}$

| \vec{V} |^{- 1 / 2} = 77^{- 1 / 4}

$|\vec{V}|^{-1/2} = 77^{-1/4}$

— Sanchaya Dutta

Tất cả đã được sửa. Có một lỗi đánh máy trong bài báo Seth Lloyd gốc.

không được chuẩn hóa. Nó nên được chia theo định mức của vectơ. các

được gọi là "bình thường hóa" bằng cách này.

{v_{i} = | v_{i} | e^{i ϕ_{i}}}

$\{v_i=|v_i|e^{i\phi_i}\}$

| \vec{v} |^{- 1 / 2} |

$|\vec{v}|^{-1/2}|$

— 1271772

Tôi hỏi vì cho một vector như

chuẩn mực giữa các ý kiến

2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}

$2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}$

\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 5^{2}}

$\sqrt{2^2+3^2+5^2}$

— Sanchaya Dutta

Bạn nói đúng tôi đã sửa nó, có còn vấn đề gì không? Tôi sẽ đánh giá cao nếu bạn chấp nhận câu trả lời vì việc này mất nhiều thời gian hơn để đánh máy hơn tôi nghĩ ban đầu.

— 1271772