Trong lấy mẫu boson , nếu chúng ta bắt đầu với 1 photon ở mỗi chế độ đầu tiên của giao thoa kế, xác suất phát hiện 1 photon trong mỗi chế độ đầu ra là: , trong đó các cột và các hàng của là các cột đầu tiên của ma trận đơn vị giao thoa và tất cả các hàng của nó.| Perm ( A ) | 2 A M $M$$|\textrm{Perm}(A)|^2$$A$$M$$U$

Điều này làm cho nó giống như với bất kỳ đơn nhất nào , chúng ta có thể xây dựng giao thoa kế thích hợp, xây dựng ma trận và tính giá trị tuyệt đối của vĩnh viễn bằng cách lấy căn bậc hai của xác suất phát hiện một photon trong mỗi chế độ (mà chúng ta lấy từ thí nghiệm lấy mẫu boson). Điều này có đúng không, hay có một số bắt? Mọi người đã nói với tôi rằng bạn thực sự không thể có được thông tin về việc lấy mẫu boson vĩnh viễn.A $U$$A$$A$

Ngoài ra, điều gì xảy ra với các cột còn lại của : Chính xác thì kết quả thử nghiệm chỉ phụ thuộc vào các cột đầu tiên của và tất cả các hàng của nó, nhưng hoàn toàn không phải trên các cột khác của ? Những cột của không ảnh hưởng đến kết quả của thí nghiệm ở chế độ đầu tiên ?M U U U M$U$$M$$U$$U$$U$$M$

Nó dường như là sự thật, đến một điểm. Khi tôi đọc Scott Aaronson của giấy , nó nói rằng nếu bạn bắt đầu với 1 photon trong mỗi người đầu tiên chế độ của một giao thoa kế, và tìm thấy xác suất rằng một bộ photon là đầu ra trong mỗi chế độ trong đó , là Vì vậy, thực sự, nếu bạn lấy một trường hợp cụ thể trong đó hoặc 1 cho mỗi đầu ra có thể, thì, có xác suất bằng với vĩnh viễn của , trong đó là cột đầu tiên củaP S s i i ∈ { 1 , ... , N } Σ i s i = M P s = | Mỗi (A) | $M$$P_S$$s_i$$i\in\{1,\ldots, N\}$$\sum_is_i=M$si=0AAM

$$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$$ $s_i=0$$A$$A$$M$$U$và một tập hợp con cụ thể của hàng được chỉ định bởi các vị trí . Vì vậy, điều này không hoàn toàn như được chỉ định trong câu hỏi: nó không phải là tất cả các hàng, mà chỉ là một số tập hợp con, do đó là một ma trận vuông, tương ứng với các bit mà thí nghiệm "nhìn thấy", tức là các hàng đầu vào và các hàng đầu ra. Các photon bất cứ điều gì bao giờ populate khác, và như vậy là mù đến các yếu tố khác của ma trận unita .$M$$s_i=1$$A$$U$

Điều này nên khá rõ ràng. Hãy nói rằng tôi có một số ma trận . Nếu tôi bắt đầu ở một số trạng thái cơ bản và tìm sản phẩm của nó, , thì biết rằng điều đó cho tôi biết rất ít về các đầu ra và , ngoài những gì có thể nói từ kiến ​​thức rằng là đơn nhất, và do đó các cột và hàng là trực giao.$3\times 3$$V$$|0\rangle$$V|0\rangle$$V|1\rangle$$V|2\rangle$$V$

Vấn đề mà người ta phải cẩn thận là độ chính xác: bạn chạy cái này một lần và tất cả những gì bạn nhận được là một mẫu duy nhất theo phân phối xác suất . Bạn chạy cái này một vài lần và bạn bắt đầu xây dựng thông tin về các xác suất khác nhau. Bạn chạy đủ số lần này và bạn có thể nhận được câu trả lời chính xác tùy ý, nhưng bao nhiêu là đủ? Có hai cách khác nhau để bạn có thể đo lỗi trong ước tính giá trị . Bạn có thể yêu cầu hoặc là một phụ lỗi hoặc một lỗi nhân giống, p ( 1 ± ε ) . Vì chúng tôi hy vọng rằng một xác suất điển hình sẽ nhỏ theo cấp số nhân trong n + m$P_s$$p$$p\pm\epsilon$$p(1\pm\epsilon)$$n+m$, lỗi nhân đòi hỏi độ chính xác cao hơn nhiều, không thể đạt được hiệu quả thông qua lấy mẫu. Mặt khác, có thể đạt được xấp xỉ lỗi phụ gia.

Trong khi một lỗi nhân là những gì mọi người thường muốn tính toán, thì lỗi cộng cũng có thể là một thực thể thú vị. Ví dụ, trong đánh giá đa thức Jones .

Aaronson chỉ cho chúng tôi quay lại thời gian xa hơn về nơi kết nối này giữa lấy mẫu Boson và Thường trực được thực hiện lần đầu tiên:

Nó đã được biết đến từ tác phẩm của Caianiello năm 1953 (nếu không muốn nói trước đó) mà biên độ cho $n$ quá trình -boson có thể được viết như permanents của $n\times n$ ma trận.

Thay vào đó, đóng góp chính của họ

là để chứng minh mối liên hệ giữa khả năng của các máy tính cổ điển để giải quyết vấn đề BosonSampling gần đúng và khả năng của chúng để tính gần đúng vĩnh viễn

tức là để hiểu vấn đề gần đúng liên quan đến, ví dụ lấy mẫu hữu hạn và để mô tả các hậu quả phức tạp tính toán liên quan: rằng chúng tôi tin rằng một điều như vậy rất khó để đánh giá một cách cổ điển.

Bạn không thể phục hồi hiệu quả các giá trị tuyệt đối của biên độ, nhưng nếu bạn cho phép nhiều mẫu tùy ý, thì bạn có thể ước tính chúng theo bất kỳ mức độ chính xác nào bạn muốn.

Cụ thể hơn, nếu trạng thái đầu vào là một photon đơn lẻ trong mỗi chế độ đầu tiên và người ta sẵn sàng rút ra một số lượng mẫu tùy ý từ đầu ra, thì về nguyên tắc có thể ước tính độ bền của A ở bất kỳ mức độ nào độ chính xác người ta thích, bằng cách đếm tỷ lệ số lần n photon đầu vào đi ra trong n cổng đầu ra khác nhau đầu tiên . Điều cần lưu ý là mặc dù điều này thực sự không liên quan nhiều đến BosonSampling, vì kết quả độ cứng giữ ở chế độ số lượng chế độ lớn hơn nhiều so với số lượng photon và về hiệu quả của việc lấy mẫu.$n$$A$$n$$n$

BosonSampling

Tôi sẽ thử giới thiệu ngắn gọn về việc lấy mẫu boson là gì, nhưng cần lưu ý rằng tôi không thể làm việc này tốt hơn bản thân Aaronson, vì vậy có lẽ nên xem qua các bài đăng trên blog có liên quan của anh ấy (ví dụ: blog /? p = 473 và blog /? p = 1177 ) và các liên kết trong đó.

BosonSampling là một vấn đề lấy mẫu . Điều này có thể hơi khó hiểu khi mọi người thường sử dụng nhiều hơn để nghĩ về các vấn đề có câu trả lời rõ ràng. Một vấn đề lấy mẫu khác nhau ở chỗ giải pháp cho vấn đề là một tập hợp các mẫu được rút ra từ một số phân phối xác suất.

Thật vậy, vấn đề mà người lấy mẫu boson giải quyết là việc lấy mẫu từ một phân phối xác suất cụ thể. Cụ thể hơn, lấy mẫu từ phân phối xác suất của các trạng thái kết quả có thể (nhiều boson).

Xem xét như một ví dụ đơn giản một trường hợp với 2 photon trong 4 chế độ, và giả sử chúng ta sửa chữa các trạng thái đầu vào là (có nghĩa là, một photon đơn trong mỗi của hai hai chế độ đầu vào đầu tiên). Bỏ qua các trạng thái đầu ra có nhiều hơn một photon trong mỗi chế độ, có ($(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$trạng thái hai photon đầu ra có thể: (1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1)và(0$\binom{4}{2}=6$$(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ . Hãy để chúng tôi biểu thị cho thuận tiện với o i , i = 1 , . , 6 cáithứ i (vì vậy, ví dụ, o 2 = ( 1 , 0 , 1 , 0 ) ). Sau đó, một giải pháp khả thi cho BosonSampling có thể là một loạt các kết quả: o 1 , o 4 , o 2 , o 2 , o 5$(0,0,1,1)$$o_i, i=1,.,6$$i$$o_2=(1,0,1,0)$

$$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$$

Để tạo sự tương tự với một trường hợp có thể quen thuộc hơn, nó giống như nói rằng chúng ta muốn lấy mẫu từ phân phối xác suất Gaussian. Điều này có nghĩa là chúng ta muốn tìm một chuỗi các số mà nếu chúng ta vẽ đủ chúng và đưa chúng vào một biểu đồ, sẽ tạo ra một cái gì đó gần với một Gaussian.

Máy tính vĩnh viễn

Nó chỉ ra rằng biên độ xác suất của một trạng thái đầu vào nhất định sang trạng thái đầu ra cho | s ⟩ là (tương ứng với) những vĩnh viễn của một ma trận phù hợp xây dựng ra khỏi ma trận unita đặc trưng (single-boson) tiến hóa.$|\boldsymbol r\rangle$$|\boldsymbol s\rangle$

Cụ thể hơn, nếu biểu thị danh sách gán chế độ$\boldsymbol R$ liên quan đến | r⟩,Scủa | s⟩, vàUlà ma trận đơn nhất mô tả sự tiến hóa, sau đó xác suất biên độ A (r→s)đi từ | r⟩đến | s⟩được cho bởi A (r→s)=${}^{(1)}$$|\boldsymbol r\rangle$$\boldsymbol S$$|\boldsymbol s\rangle$$U$$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$$|\boldsymbol r\rangle$$|\boldsymbol s\rangle$ vớiU[R| S]biểu thị ma trận được xây dựng bằng cách lấy từUcác hàng theo quy định củaRvà các cột được xác định bởiS.

$$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$$ $U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$$U$$\boldsymbol R$$\boldsymbol S$

Do đó, xem xét trạng thái đầu vào cố định , sự phân bố xác suất của các kết quả có thể được đưa ra bởi các xác suất p s = $|\boldsymbol r_0\rangle$

$$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$$

BosonSampling là vấn đề vẽ "điểm" theo phân phối này.

$p_s$

Điểm chính của vấn đề là việc lấy mẫu từ phân phối xác suất nói chung dễ hơn so với việc tính toán bản phân phối . Trong khi một cách ngây thơ để lấy mẫu từ một bản phân phối là tính toán các xác suất (nếu chưa biết) và sử dụng chúng để rút ra các điểm, có thể có những cách thông minh hơn để làm điều đó. Bộ lấy mẫu boson là thứ có khả năng vẽ điểm theo phân phối xác suất cụ thể, mặc dù xác suất tạo nên bản phân phối không được biết đến (hay nói tốt hơn, không tính toán hiệu quả).

$\binom{m}{n}$$n$$m$$m\gg n$$n$

Trong một số trường hợp cụ thể, có thể ước tính hiệu quả vĩnh viễn ma trận bằng cách sử dụng thiết lập lấy mẫu boson. Điều này sẽ chỉ khả thi nếu một trong các mô hình con có vĩnh viễn lớn (tức là không nhỏ theo cấp số nhân) được liên kết với nó, do đó cặp đầu vào-đầu ra được liên kết với nó sẽ xảy ra thường xuyên đủ để ước tính có thể khả thi trong thời gian đa thức. Đây là một tình huống rất không điển hình, và sẽ không phát sinh nếu bạn rút ra sự bất hợp pháp một cách ngẫu nhiên. Đối với một ví dụ tầm thường, hãy xem xét các ma trận rất gần với danh tính - sự kiện trong đó tất cả các photon đi ra trong cùng chế độ mà chúng đi vào sẽ tương ứng với một vĩnh viễn có thể ước tính bằng thực nghiệm. Bên cạnh đó chỉ khả thi đối với một số ma trận cụ thể,${}^{(2)}$

Cột liên quan

$U$$k$$k$$U$

$U$$\varphi_n(U)$$U$

$n$$n$$U$

---

$(1, 0, 1, 0)$$(1, 3)$

(2): S. Aaronson và T. Hance. "Tổng quát hóa và giải mã thuật toán xấp xỉ của Gurvits cho vĩnh viễn". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/