Tôi hiện đang đọc Thông tin lượng tử và Thông tin lượng tử và tôi không chắc mình có hiểu đúng bài tập này không (ở trang 57):

Bài tập 1.2: Giải thích cách sử dụng một thiết bị, khi nhập vào một trong hai trạng thái lượng tử không trực giao hoặc xác định chính xác trạng thái, có thể được sử dụng để xây dựng một thiết bị nhân bản các trạng thái và , vi phạm định lý không nhân bản. Ngược lại, giải thích làm thế nào một thiết bị để nhân bản có thể được sử dụng để phân biệt các trạng thái lượng tử không trực giao.$\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$$\left|\psi\right>$$\left|\phi\right>$

Phần đầu tiên có vẻ khá đơn giản đối với tôi: một khi trạng thái đã được xác định là hoặc , chỉ cần chuẩn bị một trạng thái giống hệt nhau thông qua bất kỳ phương tiện nào chúng ta có, nhân bản trạng thái ban đầu.$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$

Đối với điều ngược lại, tôi đã không thể đạt được tốt hơn thế này:

1. Nhân bản trạng thái để được xác định lần$n$

2. Thực hiện phép đo trên mỗi bản sao trên cơ sở , trong đó là một trạng thái trực giao với$(|\psi\rangle, |\psi'\rangle)$$|\psi'\rangle$$|\psi\rangle$

3. Nếu một trong các phép đo mang lại , thì chúng tôi biết chắc chắn rằng trạng thái ban đầu là$|\psi'\rangle$$|\phi\rangle$

4. Nếu tất cả các phép đo mang lại , chúng ta có thể khẳng định rằng trạng thái ban đầu là với xác suất lỗi bằng: , trong đó có thể được làm nhỏ tùy ý bằng cách tăng$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$|\langle\psi|\phi\rangle|^{2n}$$n$

Tuy nhiên, cách bài tập được diễn đạt khiến tôi nghĩ rằng phải có một số cách xác định để phân biệt giữa và cho một máy nhân bản. Đây thực sự là trường hợp?$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$

Đó là cách mà ban đầu tôi sẽ đi trả lời câu hỏi. Tuy nhiên, có một vài điều chỉnh bạn có thể thực hiện.

Câu trả lời dứt khoát

Như bạn chỉ ra, tính năng khó chịu là bạn không bao giờ có thể dứt khoát về việc có trạng thái .$|\psi\rangle$

Có một vài cách mà bạn có thể tránh được cạm bẫy đó.

Tùy chọn đầu tiên là có hai cơ sở đo lường khác nhau mà bạn chọn giữa. Đầu tiên là như bạn chỉ định. Thứ hai là quan điểm bổ sung mà bạn sử dụng .$(|\phi\rangle,|\phi'\rangle)$

Tùy chọn thứ hai là giới thiệu POVM. (Tôi không có bản sao Nielsen và Chuang của mình và không nhớ nếu chúng được giới thiệu vào thời điểm này.) POVM có thể có nhiều hơn 2 toán tử đo lường và thường khá giỏi trong việc nói "trạng thái chắc chắn không ", vì vậy bạn có thể làm cho một nhà điều hành nói rằng 'nhà nước chắc chắn là không | ψ ⟩ ', khác nói rằng 'chắc chắn không phải | φ ⟩ ' và một phần ba chỉ vì lợi ích của sự hoàn chỉnh.$|x\rangle$$|\psi\rangle$$|\phi\rangle$

Cả hai tùy chọn đều là các biến thể của một chủ đề và về mặt kỹ thuật, bạn vẫn có thể phải chạy cả hai trước khi bạn nhận được câu trả lời dứt khoát, nhưng số lượng thử nghiệm dự kiến ​​là hữu hạn.

Xác suất kết quả tốt hơn

Bạn thực sự có thể chọn một cơ sở đo lường tốt hơn so với cơ sở bạn đã mô tả để bạn có thể đưa ra kết luận nhanh hơn (nhưng chắc chắn không cung cấp cho bạn câu trả lời dứt khoát). Hãy thử nghĩ về hai trạng thái và | φ $|\psi\rangle$$|\phi\rangle$trên quả cầu Bloch. Bạn luôn có thể tìm thấy một mặt phẳng đi qua cả hai điểm và tâm của quả cầu. Trên mặt phẳng này, có một hình tròn, có hai điểm tương ứng với hai trạng thái. Vẽ các đường nối các điểm này vào trung tâm. Tiếp theo, xây dựng đường kính của vòng tròn tạo các góc bằng nhau với hai đường bạn vừa vẽ. Điều này sẽ xác định cơ sở đo lường cho bạn biết hoàn toàn không có gì về trạng thái nào trong hai trạng thái bạn có. Nhưng, nếu bạn xây dựng đường kính vuông góc với đường thẳng đó, thì đây là đường kính, ít nhất là trong một lần chụp, có xác suất tối đa để phân biệt giữa hai trạng thái.

$|\Psi\rangle$$\theta$$|\langle\psi|\phi\rangle|$

$k$$k$