Tại sao (hầu hết) mọi cặp người Hamilton tạo ra, thông qua giao hoán lặp đi lặp lại, toàn bộ không gian của ma trận Hermiti?

Trong [1], vấn đề mô phỏng người Hamilton sử dụng các ứng dụng lặp đi lặp lại của một nhóm người Hamilton khác nhau được thảo luận.

Cụ thể, hãy để và là một cặp toán tử Hermiti và gọi là đại số được tạo từ thông qua giao hoán lặp đi lặp lại .$A$$B$$\mathcal L$$A, B$$^{\mathbf{(\dagger)}}$

Sau đó, tác giả hỏi (đoạn đầu của trang thứ ba) là gì đối với một cặp quan sát và tùy ý , và lập luận rằng là không gian của tất cả các ma trận Hermiti, trừ khi (trích dẫn từ bài báo) cả và lời nói dối trong một chiều đại diện đơn nhất của một số nhóm Lie khác hơn là .$\mathcal L$$A$$B$$\mathcal L$$e^{iA t}$$e^{iB t}$$n$$U(n)$

Tôi không quá quen thuộc với lý thuyết về đại số Lie, vì vậy tuyên bố này khá khó hiểu đối với tôi. Làm thế nào điều này có thể được hiển thị rõ ràng hơn? Tương tự, có cách nào trực tiếp hơn để chỉ ra thực tế này?

$(\dagger)$ : Nói rõ hơn, đây là không gian vectơ được kéo dài bởi$A, B, i[A,B], [A,[A,B]], ...$

[1] Lloyd 1995, Hầu như bất kỳ Cổng logic lượng tử nào là phổ quát , Liên kết với PRL .

Tôi không quá quen thuộc với lý thuyết về đại số Lie, vì vậy tuyên bố này khá khó hiểu đối với tôi. Làm thế nào điều này có thể được hiển thị rõ ràng hơn? Tương tự, có cách nào trực tiếp hơn để chỉ ra thực tế này?

Đồng thời, David Deutsch et al . đã chứng minh điều tương tự trong bài báo này: Tính quốc tế trong tính toán lượng tử (1995) , nhưng không bao giờ sử dụng từ "đại số" hay "Nói dối" trong toàn bộ bài báo. Bằng chứng bắt đầu ở trang 3 và điểm chính là tại biểu thức. 9, đó là cùng một phương trình xuất hiện trong bài báo của Seth Lloyd, nhưng ở đây nó được giải thích mà không liên quan đến "Đại số Lie". Phương trình 9 là một ứng dụng của những gì trong vật lý mà chúng ta thường gọi là " Trotter split ". Nó được viết ra gần 100 năm trước bởi Sophus Lie, nhưng bạn không cần biết gì về Lie Algebras hoặc thậm chí các không gian vectơ để áp dụng công thức như được thực hiện trong biểu thức. 9.