Điện toán lượng tử đáng tin cậy có thể nhanh hơn thuật toán của Grover không?

Người ta đã chứng minh rằng điện toán lượng tử đáng tin cậy tương đương với "tiêu chuẩn", hay điện toán lượng tử mô hình cổng. Tuy nhiên, tính toán đáng tin cậy cho thấy hứa hẹn cho các vấn đề tối ưu hóa, trong đó mục tiêu là tối thiểu hóa (hoặc tối đa hóa) một chức năng liên quan đến vấn đề - nghĩa là tìm ra trường hợp giảm thiểu (hoặc tối đa hóa) chức năng này ngay lập tức giải quyết vấn đề.

Bây giờ, đối với tôi, thuật toán của Grover về cơ bản có thể làm như vậy: bằng cách tìm kiếm trên không gian giải pháp, nó sẽ tìm thấy một giải pháp (có thể trong số nhiều giải pháp) thỏa mãn tiêu chí tiên tri, trong trường hợp này tương đương với điều kiện tối ưu, trong thời gian , trong đóNlà kích thước của không gian giải pháp.$O(\sqrt N)$$N$

Thuật toán này đã được chứng minh là tối ưu: như Bennett et al. (1997) đặt nó, " không thể giải được lớp trên máy Turing lượng tử trong thời gian o ( 2 n / 2 ) ". Trong sự hiểu biết của tôi, phương tiện này không có cách nào để xây dựng bất kỳ thuật toán lượng tử mà tìm thấy một giải pháp bằng cách tìm kiếm thông qua các không gian nhanh hơn O ( $\rm NP$$o(2^{n/2})$, trong đóquy mô với kích thước vấn đề.$O(\sqrt N)$$N$

Vì vậy, câu hỏi của tôi là: trong khi tính toán lượng tử đoạn nhiệt thường được trình bày như là vượt trội khi nói đến vấn đề tối ưu hóa, có thể nó thực sự được nhanh hơn ? Nếu có, điều này dường như mâu thuẫn với sự tối ưu của thuật toán Grover, vì bất kỳ thuật toán tính toán nào cũng có thể được mô phỏng bằng một mạch lượng tử. Nếu không, điểm phát triển của các thuật toán tính toán là gì, nếu chúng không bao giờ sẽ nhanh hơn một cái gì đó chúng ta có thể xây dựng một cách có hệ thống với các mạch? Hoặc có điều gì đó sai với sự hiểu biết của tôi?$O(\sqrt N)$

Câu hỏi hay. Để tìm kiếm không có cấu trúc, tính toán lượng tử đoạn nhiệt thực sự mang lại cho chính xác cùng tăng tốc rằng thuật toán tiêu chuẩn cổng dựa trên Grover của không, như đã được chứng minh trongnàygiấy quan trọng bởi Roland và Cerf. Điều này đồng ý với sự tương đương giữa tính toán lượng tử dựa trên cổng và cổng mà bạn đã đề cập.$\sqrt{N}$

. là " cực đoan hàm f ( x ) ?", như bạn đã đề xuất. Thay vào đó, nó "là f ( $x$$f(x)$ nhỏ hơn hoặc bằng với M ?" Xem slide 9 và 10ở đây. đó là vì một lời sấm cho sau này câu hỏi được coi là một mô hình thực tế hơn cho một thiết lập vật lý, trong đó nó 'Có thể hiểu rằng người ta có thể tính trực tiếp hoặc đo f ( x ) cho một x đã cho$f(x)$$M$$f(x)$$x$, nhưng .)$f(x) - f_\text{min}$

Tuy nhiên, có hai lợi thế tiềm năng đối với QC đáng tin cậy, cả hai đều khó nghiên cứu về mặt lý thuyết. Đầu tiên là thực tế: thực sự xây dựng các mạch lượng tử kết hợp lớn khó hơn rất nhiều khi chỉ vẽ chúng trong một bài báo. Mặc dù QC đáng tin cậy không có bất kỳ lợi thế cơ bản nào so với thiết lập truyền thống, việc thực hiện thử nghiệm có thể dễ dàng hơn nhiều.

Thứ hai, cùng một cảnh báo lớn áp dụng cho AQC như thuật toán của Grover tiêu chuẩn: nó chỉ áp dụng cho tìm kiếm không có cấu trúc hoặc "hộp đen", trong đó chúng tôi hoàn toàn bỏ qua bất kỳ mối tương quan nào giữa các câu trả lời mà nhà tiên tri đưa ra khi được đưa vào "tương tự" hoặc " "truy vấn" liên quan. Bất kỳ vấn đề tìm kiếm thực tế nào mà chúng tôi quan tâm theo định nghĩa đều có một số cấu trúc cho nó, mặc dù cấu trúc này có thể quá phức tạp đối với chúng tôi để phân tích. Ví dụ, nếu chúng ta nghĩ rằng hàm bị cực đoan như một cảnh quan năng lượng, có vẻ hợp lý rằng hệ thống có thể dễ dàng tạo đường hầm giữa cực tiểu địa phương "gần" hơn là giữa các cực tiểu "xa".

$\subset$

Tính toán lượng tử đáng tin cậy không thể làm bất cứ điều gì nhanh hơn tính toán lượng tử dựa trên mạch từ góc độ phức tạp tính toán. Điều này là do có một bằng chứng toán học cho thấy tính toán lượng tử dựa trên mạch có thể mô phỏng hiệu quả tính toán lượng tử đáng tin cậy [xem phần 5 của bài viết này ].

nó thực sự có thể nhanh hơn $\mathcal{O}(\sqrt{N})$?

Câu trả lời là không. Điều này là bởi vì nếu AQC có thể làm điều đó, giả sử,$\mathcal{O}(\log{N})$, sau đó QC dựa trên mạch cũng có thể làm điều đó trong $\mathcal{O}(\log{N})$bằng thuật toán trong phần 5 của bài báo tôi đã liên kết ở trên. Điều này sẽ vi phạm sự tối ưu của$\mathcal{O}(\sqrt{N})$ cho tìm kiếm phi cấu trúc.