Mối quan hệ giữa cổng Toffoli và hộp Popescu-Rohrlich là gì?

Lý lịch

Cổng Toffoli là cổng logic cổ điển 3 đầu vào, 3 đầu ra. Nó gửi đến . Nó có ý nghĩa ở chỗ nó là phổ quát cho tính toán đảo ngược (cổ điển).( x , y , một $(x, y, a)$$(x, y, a \oplus (x \cdot y))$

Hộp Popescu-Rohrlich là ví dụ đơn giản nhất về mối tương quan không có tín hiệu. Phải có một cặp đầu vào và đầu ra thỏa mãn sao cho và đều là hai biến ngẫu nhiên thống nhất. Nó là phổ quát cho một lớp nhất định ( nhưng không phải tất cả ) tương quan không tín hiệu.( a , b ) x ⋅ y = a ⊕ $(x, y)$$(a, b)$$x \cdot y = a \oplus b$$a$$b$

Trước mắt tôi, hai đối tượng này trông cực kỳ giống nhau, đặc biệt nếu chúng ta tăng hộp PR bằng cách cho nó xuất ra . Hộp PR 2 đầu vào, 4 đầu ra này "là" cổng Toffoli 3 đầu vào, 3 đầu ra nhưng với đầu vào thứ ba được thay thế bằng đầu ra ngẫu nhiên. Nhưng tôi không thể tìm thấy bất kỳ tài liệu tham khảo nào liên quan đến chúng.$(x, y, a, b) = (x, y, a, a \oplus (x \cdot y))$

Câu hỏi

Mối quan hệ giữa cổng Toffoli và hộp Popescu-Rohrlich là gì? Có một cái gì đó giống như một sự tương ứng giữa các mạch cổ điển có thể đảo ngược và (một loại nhất định của?) Tương quan không tín hiệu ánh xạ cái này sang cái khác?

Quan sát

1. Việc chỉ định một mối tương quan không báo hiệu đòi hỏi không chỉ là một chức năng mà còn là sự phân công của từng đầu vào và đầu ra cho một bên kiểm soát nó. Hộp PR không còn không báo hiệu nếu chúng tôi cho phép Alice nhập cả hai đầu vào và Bob để đọc cả hai đầu ra. Hoặc trong hộp PR "tăng cường" của chúng tôi, nếu Alice nhập , cô ấy cũng phải là người đọc bản sao của . Vì vậy, dường như không cần thiết để xác định, đối với một mạch chung (với một số đầu vào có thể được thay thế bằng đầu ra ngẫu nhiên), tất cả các cách đầu vào và đầu ra có thể được gán cho các bên sao cho không thể giao tiếp.$x$$x$

2. Chúng ta có thể áp dụng quy trình trên bất kỳ cổng logic nào, kể cả cổng không thể đảo ngược. Chẳng hạn, chúng ta có thể lấy AND và thay thế một trong các đầu vào bằng một đầu ra ngẫu nhiên và nhận hàm một đầu vào và một cặp trong đó là biến ngẫu nhiên đồng nhất. Tuy nhiên, là điều hòa trên , vì vậy cách duy nhất có thể là không báo hiệu là nếu Alice, người nhập , nhận . Nhưng thủ tục này đã có thể được sao chép một cách cổ điển với một nguồn ngẫu nhiên được chia sẻ. Vì vậy, tôi hy vọng rằng bao gồm các cổng không thể đảo ngược không mở rộng lớp tương quan không tín hiệu mà người ta có thể xây dựng.$x$$(a, x \cdot a)$$a$$x \cdot a$$0$$x = 0$$x$$x \cdot a$

Một cách tự nhiên để liên kết các cổng Toffoli và các hộp PR là xem cả hai như là các biểu diễn của hàm AND của hai đầu vào nhị phân, nhưng theo các cách khác nhau. Kết nối với chức năng AND là hiển nhiên và được thừa nhận rõ ràng bằng câu hỏi, nhưng tôi sẽ diễn đạt nó theo một cách hơi khác:

1. Cổng Toffoli tất nhiên là cách tự nhiên để biểu diễn AND như là một hàm đảo ngược. Nó tuân theo mô hình thông thường để biểu diễn một hàm tùy ý có thể đảo ngược là .$f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$$|x,a\rangle \mapsto |x,a\oplus f(x)\rangle$

2. Hộp PR có thể được xem như một dạng phân tán của hàm AND. Đầu ra của hộp PR trên đầu vào có thể được biểu thị dưới dạng hoặc tương đương là , trong đó là bit ngẫu nhiên được tạo đồng đều. Do đó, đầu ra của hộp PR là một cặp bit ngẫu nhiên tương quan hoàn toàn hoặc chống tương quan hoàn hảo, tùy thuộc vào việc AND của các đầu vào tương ứng là 0 hay 1. Điều này rất thú vị vì Alice và Bob cùng biết đầu ra của hàm AND (mà họ có thể có được bằng cách tính XOR của các bit đầu ra của họ), trong khi cá nhân họ không có thông tin nào về giá trị này.$(x,y)$$(\text{AND}(x,y)\oplus a, a)$$(a,\text{AND}(x,y)\oplus a)$$a\in\{0,1\}$

Ý tưởng rằng hộp PR tính toán hiệu quả chức năng AND theo cách phân tán này là ý tưởng chính trong bằng chứng của Wim van Dam rằng sự phức tạp trong giao tiếp trở nên tầm thường khi có các hộp PR:

Wim van Dam. Hậu quả khôn lường của sự phi phàm. Máy tính tự nhiên 12 (1): 9-12, 2013.