Thuật toán lượng tử cho các hệ phương trình tuyến tính (HHL09): Bước 1 - Nhầm lẫn về việc sử dụng thuật toán ước lượng pha

11

Tôi đã cố gắng tìm hiểu về thuật toán lượng tử giấy (?) Nổi tiếng cho các hệ phương trình tuyến tính (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) (phổ biến hơn là thuật toán HHL09 ) trong một thời gian, bây giờ.

Trên trang đầu tiên, họ nói :

Chúng tôi phác thảo ở đây ý tưởng cơ bản của thuật toán của chúng tôi và sau đó thảo luận chi tiết hơn trong phần tiếp theo. Cho ma trận Hermiti và vectơ đơn vị , giả sử chúng ta muốn tìm thỏa mãn . (Chúng tôi thảo luận các câu hỏi sau về hiệu quả cũng như cách các giả định mà chúng tôi đã đưa ra về và có thể được nới lỏng.) Đầu tiên, thuật toán biểu thị dưới dạng trạng thái lượng tử $N\times N$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{x}$ $A\vec{x} = \vec{b}$ $A$ $\vec{b}$ $\vec{b}$ . Tiếp theo, chúng tôi sử dụng các kỹ thuật mô phỏng Hamilton [3, 4] để áp dụng chocho sự chồng chất của thời điểm khác nhau. Khả năng này lũy thừadịch, thông qua kỹ thuật ước lượng pha nổi tiếng [5 Ném7] thành khả năng phân hủy trong eigenbasis củavà để tìm ra giá trị riêng tương ứng , định trạng thái của hệ thống sau khi giai đoạn này là gần $|b\rangle = \sum_{i=1}^{N}b_i|i\rangle$ $e^{iAt}$ $|b_i\rangle$ $t$ $A$ $|b\rangle$ $A$ $\lambda_j$ , nơilà cơ sở eigenvector của và. $\sum_{j=1}^{j=N} \beta_j |u_j\rangle|\lambda_j\rangle$ $u_j$ $A$ $|b\rangle = \sum_{j=1}^{j=N} \beta_j|u_j\rangle$

Càng xa càng tốt. Như đã trình bày trong Nielsen & Chuang trong chương " Các lượng tử biến đổi Fourier và ứng dụng của nó ", thuật toán lập dự toán giai đoạn được sử dụng để ước tính trong mà là eigenvalue tương ứng với một eigenvector của toán tử unita . $\varphi$ $e^{i2\pi \varphi}$ $|u\rangle$ $U$

Đây là phần có liên quan từ Nielsen & Chuang:

Thuật toán ước lượng pha sử dụng hai thanh ghi. Thanh ghi đầu tiên chứa qubit ban đầu ở trạng thái . Làm thế nào chúng ta chọn phụ thuộc vào hai yếu tố: số lượng chữ số chính xác, chúng tôi muốn có trong dự toán của chúng tôi cho , và với những gì chúng ta muốn xác các thủ tục lập dự toán giai đoạn để thành công. Sự phụ thuộc của vào các đại lượng này xuất hiện một cách tự nhiên từ các phân tích sau đây. $t$ $|0\rangle$ $t$ $\varphi$ $t$

Thanh ghi thứ hai bắt đầu trong trạng thái và chứa nhiều qubit là cần thiết để lưu trữ . Dự toán giai đoạn được thực hiện trong hai giai đoạn. Đầu tiên, chúng ta áp dụng mạch như trong hình 5.2. Mạch bắt đầu bằng cách áp dụng một biến đổi Hadamard cho thanh ghi đầu tiên, tiếp theo là áp dụng các thao tác kiểm soát trên thanh ghi thứ hai, với được nâng lên thành hai lũy thừa. Trạng thái cuối cùng của thanh ghi đầu tiên dễ dàng được nhìn thấy là: $|u\rangle$ $|u\rangle$ $U$ $U$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩) = \frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{k = 0}^{2^{t} - 1} exp (2 π i φ k) | k ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)= \frac{1}{2^{t/2}}\sum_{k=0}^{2^{t}-1}\text{exp}(2\pi i \varphi k)|k\rangle$

Giai đoạn thứ hai của ước lượng pha là áp dụng biến đổi Fourier lượng tử nghịch đảo trên thanh ghi đầu tiên. Điều này có được bằng cách đảo ngược mạch cho biến đổi Fourier lượng tử trong phần trước (Bài tập 5.5) và có thể được thực hiện trong các bước . Giai đoạn thứ ba và cuối cùng của ước tính pha là đọc trạng thái của thanh ghi đầu tiên bằng cách thực hiện phép đo trong cơ sở tính toán. Chúng tôi sẽ cho thấy rằng điều này cung cấp một ước tính khá tốt của . Một sơ đồ tổng thể của thuật toán được hiển thị trong Hình 5.3. $\Theta (t^2)$ $\varphi$

Để làm sắc nét trực giác của chúng tôi là tại sao công trình ước tính giai đoạn, giả sử có thể được thể hiện một cách chính xác int bit, như . Sau đó, trạng thái (5.20) do giai đoạn đầu tiên của ước tính pha có thể được viết lại $\varphi$ $\varphi = 0.\varphi_1 ... \varphi_t$

$\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t} | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{t - 1} φ_{t} | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + \exp (2 π i 0. φ_{1} . . . φ_{t} | 1 ⟩)$ $\frac{1}{2^{t/2}}(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_t|1\rangle)(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_{t-1}\varphi_t|1\rangle)...(|0\rangle + \exp(2\pi i 0.\varphi_1...\varphi_t|1\rangle)$
Giai đoạn thứ hai của ước lượng pha là áp dụng biến đổi Fourier lượng tử nghịch đảo. Nhưng so sánh phương trình trước với dạng sản phẩm cho biến đổi Fourier, phương trình (5.4), chúng ta thấy rằng trạng thái đầu ra từ giai đoạn thứ hai là trạng thái sản phẩm . Một phép đo trong cơ sở tính toán, do đó, cho chúng ta chính xác! $|\varphi_1 ...\varphi_t\rangle$ $\varphi$

Tóm tắt, thuật toán ước lượng pha cho phép người ta ước tính pha của một giá trị riêng của toán tử đơn vị , được đưa ra hàm riêng tương ứng . Một tính năng thiết yếu ở trung tâm của quy trình này là khả năng biến đổi Fourier ngược để thực hiện chuyển đổi $\varphi$ $U$ $|u\rangle$

$\frac{1}{2^{t / 2}} \sum_{j = 0}^{2^{t} - 1} \exp (2 π i φ j) | j ⟩ | u ⟩ \to | \tilde{φ} ⟩ | u ⟩$ $\frac{1}{2^{t/2}}\sum_{j = 0}^{2^t-1}\exp(2\pi i \varphi j)|j\rangle |u\rangle \to |\tilde \varphi \rangle |u\rangle$

^$\dagger$

Bước 1 (Dự toán giai đoạn):

$A$ $A$ $e^{iAt}$ $A$

$U=e^{iAt}$ $|u_j\rangle$ $U$ $N\times N$ $N$ $A$ $\lambda_j$ $e^{iAt}$ $e^{i \lambda_j t}$ $U$ $e^{2\pi i \varphi} \equiv e^{ i \lambda_j t}$ $\varphi = \frac{\lambda_j t}{2\pi}$ $|b\rangle$ $U$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $|u_j\rangle$ $U$ $|u\rangle \otimes (|0\rangle)^{\otimes t}$ $|u\rangle \otimes |\tilde\varphi\rangle$ $|u_j\rangle \otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$ $\lambda_j$ $|u_j\rangle$ $A$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

Câu hỏi:

$\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde\lambda_j\rangle$ $\sum_{j=1}^{j=N}\beta_j|u_j\rangle\otimes |\tilde{\frac{\lambda_j t}{2\pi}}\rangle$

$\frac{t}{2\pi}$

Chỉnh sửa: Phần 2 đã được yêu cầu ở đây để làm cho các câu hỏi cá nhân tập trung hơn.

^{Tôi cũng có một vài nhầm lẫn liên quan đến Bước 2 và Bước 3 của thuật toán HHL09, nhưng tôi đã quyết định đăng chúng dưới dạng các câu hỏi riêng biệt, vì điều này đang trở nên quá dài. Tôi sẽ thêm các liên kết đến các chủ đề câu hỏi, trên bài đăng này, một khi chúng được tạo.}

$\dagger$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Daya
nguồn

1

6

$6$

t = 3 + ⌈ \log_{2} (2 + \frac{1}{2 (0.1)}) ⌉ = 3 + 3 = 6

$t = 3 + \lceil { \log_2(2+\frac{1}{2 (0.1)})\rceil} = 3 + 3 = 6$

| λ_{j} ⟩

$|\lambda_j\rangle$

| \frac{λ_{j} t}{2 π} ⟩

$|\frac{\lambda_j t}{2\pi}\rangle$

3

$3$

90 %

$90\%$

5

Nó phụ thuộc vào các giấy tờ nhưng tôi thấy 2 cách tiếp cận:

$t$ $t = t_0 = 2\pi$
$\tilde \lambda$ $\lambda$ $\frac{t}{2\pi}$ $\tilde \lambda$ $\frac{\lambda t}{2\pi}$

Dưới đây là một số liên kết:

$t$ $2\pi$
$t$ $t_0$ $2\pi$
$t = 2\pi$
$t_0 = 2\pi$

— Nensonee
nguồn

2

$\frac{t}{2\pi}$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $\lambda t/(2\pi)$ $A$ $\lambda$

$U$ $e^{-i\lambda t}$ $A$ $\lambda\rangle$

$|\tilde\lambda\rangle$

— DaftWullie
nguồn