Triển khai cổng CCCNOT chỉ sử dụng cổng Toffoli

Cổng CCCNOT là cổng đảo ngược bốn bit lật bit thứ tư của nó khi và chỉ khi ba bit đầu tiên đều ở trạng thái .$1$

Làm cách nào để triển khai cổng CCCNOT bằng cổng Toffoli? Giả sử rằng các bit trong không gian làm việc bắt đầu bằng một giá trị cụ thể, 0 hoặc 1, miễn là bạn trả chúng về giá trị đó.

Tôi đoán những gì bạn đang tìm kiếm là mạch sau đây. Ở đây, $b_1,b_2,b_3,b_4 \in \{0,1\}$ , và $\oplus$ là Ngoài modulo $2$ .

Ở đây, qubit thứ năm được sử dụng như một qubit phụ hoặc ancilla . Nó bắt đầu lúc $|0\rangle$ và kết thúc trong $|0\rangle$ khi mạch được áp dụng.

Hãy để tôi giải thích về cách thức hoạt động của mạch này. Ý tưởng trước hết là kiểm tra xem hai qubit đầu tiên có ở trạng thái không $|1\rangle$ . Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng một cổng Toffoli duy nhất và kết quả được lưu trữ trong qubit phụ. Bây giờ, vấn đề giảm xuống để lật qubit $4$ , bất cứ khi nào qubit $3$ và qubit phụ nằm trong $|1\rangle$ . Điều này cũng có thể đạt được bằng cách sử dụng một ứng dụng của cổng Toffoli, cụ thể là ứng dụng ở giữa trong mạch được hiển thị ở trên. Cuối cùng, cổng Toffoli cuối cùng dùng để giải nén kết quả tạm thời mà chúng tôi đã lưu trữ trong qubit phụ, sao cho trạng thái của qubit này trở về $|0\rangle$ sau khi mạch được áp dụng.

---

Trong phần bình luận, câu hỏi đặt ra là liệu có thể thực hiện một mạch như vậy chỉ bằng các cổng Toffoli, mà không sử dụng các qubit phụ. Câu hỏi này có thể được trả lời theo cách tiêu cực, như tôi sẽ trình bày ở đây.

Chúng tôi muốn thực hiện $\mathrm{CCCNOT}$ -gate, hoạt động trên bốn qubit. Chúng ta có thể xác định các ma trận sau (đại diện ma trận của Pauli- $X$ -gate):

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ Hơn nữa, chúng ta ký hiệu $N$ nhận dạng ma trận chiều bởi $I_N$ . Bây giờ, chúng ta thấy rằng các đại diện ma trận của $\mathrm{CCCNOT}$ -gate, hoạt động trên bốn qubit, được đưa ra bởi sau $16 \times 16$ ma trận: $$\mathrm{CCCNOT} = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT}) = -1$$ $4$ $$\mathrm{Toffoli} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_6 & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 \\ 0 & X \otimes I_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_{12} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{Toffoli} \otimes I_2) = 1$$ Các cổng Toffoli cũng có thể hoạt động trên các qubit khác nhau tất nhiên. Giả sử chúng ta để cổng Toffoli hoạt động trên qubit thứ nhất, thứ hai và thứ tư, trong đó qubit thứ tư là qubit mục tiêu. Sau đó, chúng tôi có được biểu diễn ma trận mới từ biểu đồ được hiển thị ở trên bằng cách hoán đổi các cột tương ứng với các trạng thái chỉ khác nhau ở qubit thứ ba và thứ tư, nghĩa là với , với , v.v. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây, là số lần hoán đổi của các cột là chẵn và do đó, định thức vẫn không thay đổi. Như chúng ta có thể viết mọi hoán vị của các qubit như một chuỗi các hoán vị liên tiếp chỉ qubit (nghĩa là$|0001\rangle$$|0010\rangle$$|0101\rangle$$|0110\rangle$$2$$S_4$được tạo bởi các chuyển vị trong ), chúng tôi thấy rằng đối với tất cả các cổng Toffoli, được áp dụng cho bất kỳ tổ hợp kiểm soát và qubit đích nào, biểu diễn ma trận của nó có định thức .$S_4$$1$

Điều cuối cùng cần lưu ý là hệ số xác định bắt đầu với phép nhân ma trận, nghĩa là , cho bất kỳ hai ma trận và tương thích với phép nhân ma trận. Do đó, giờ đây rõ ràng rằng việc áp dụng nhiều cổng Toffoli theo trình tự không bao giờ tạo ra một mạch có biểu diễn ma trận có định thức khác với , đặc biệt ngụ ý rằng việc sử dụng cổng có thể được thực hiện bằng cách chỉ sử dụng cổng Toffoli trên qubit .$\det(AB) = \det(A)\det(B)$$A$$B$$1$$\mathrm{CCCNOT}$$4$

Câu hỏi rõ ràng, bây giờ, là những gì thay đổi khi chúng ta cho phép một qubit phụ. Chúng tôi tìm thấy câu trả lời khi chúng tôi viết ra hành động của trên hệ thống bitbit: Nếu chúng ta tính được định thức này, chúng ta sẽ tìm thấy : Do đó, yếu tố quyết định của tác dụng trên qubit là , thay vì . Đây là lý do tại sao đối số trước không hợp lệ cho$\mathrm{CCCNOT}$$5$

$$\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{14} & 0 \\ 0 & X \end{bmatrix} \otimes I_2 = \begin{bmatrix} I_{28} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & I_2 \\ 0 & I_2 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\det(\mathrm{CCCNOT} \otimes I_2) = 1$$ $\mathrm{CCCNOT}$$5$$1$$-1$$5$ qubit, như chúng ta đã biết vì mạch được xây dựng rõ ràng mà OP yêu cầu.