Có phải tất cả

Định lý 2 của [1] nêu:

Giả sử là một tự trực giao phụ mã phụ gia của , chứa vectơ, như vậy mà không có vectơ trọng lượng trong . Sau đó, bất kỳ không gian điện tử nào của là một mã sửa lỗi lượng tử phụ gia với các tham số .GF ( 4 ) n 2 n - k < d C ⊥ / C ϕ - 1 ( C ) [ [ n , k , d ] $C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

ở đây là bản đồ giữa biểu diễn nhị phân của các toán tử Pauli Fold và từ mã liên kết của chúng và là tự trực giao nếu nơi là kép của . n C C ⊆ C ⊥ C ⊥$\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

Điều này cho chúng ta biết rằng mỗi mã tự trực giao phụ gia mã cổ điển đại diện cho một mã lượng tử . [ [ n , k , d ] $\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

Câu hỏi của tôi là liệu điều ngược lại có đúng không, đó là: có phải mọi mã đại diện bởi một phụ gia tự trực giao mã cổ điển không?GF ( 4 ) $[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

Hoặc tương tự: Có bất kỳ mã lượng tử nào không được đại diện bởi một mã tự trực giao phụ gia không?GF ( 4 ) $[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert, et al. "Sửa lỗi lượng tử thông qua các mã trên GF (4)." Giao dịch của IEEE về lý thuyết thông tin 44.4 (1998): 1369-1387.

Ràng buộc tự trực giao phụ gia trên các mã cổ điển để tạo mã lượng tử ổn định là cần thiết do thực tế là các bộ tạo ổn định phải đi lại giữa chúng để tạo ra một không gian mã hợp lệ. Khi tạo mã lượng tử từ mã cổ điển, mối quan hệ giao hoán cho các chất ổn định tương đương với việc có mã cổ điển tự trực giao.

Tuy nhiên, mã lượng tử có thể được xây dựng từ mã cổ điển không tự trực giao trên $GF(4)^n$ bằng phương pháp hỗ trợ vướng víu. Trong cấu trúc này, một mã cổ điển tùy ý được chọn và bằng cách thêm một số cặp Chuông trong hệ thống qubit, có được sự chuyển đổi giữa các bộ ổn định.

Mô hình hỗ trợ vướng víu này để xây dựng QECC từ bất kỳ mã cổ điển nào được trình bày trong arXiv: 1610.04013 , dựa trên bài báo "Sửa lỗi lượng tử với sự vướng víu " được xuất bản trong Khoa học của Brun, Devetak và Hsieh.

Câu hỏi của bạn có thể được xem như là một vấn đề công chứng.

Ký hiệu $[[n,k,d]]_D$ thường (nhưng không phải luôn luôn) dành cho mã là loại ổn định. Như bài báo của Calderbank và cộng sự chỉ ra, các mã ổn định qubit tương đương với các mã cổ điển tự chỉnh hình phụ (4) ^ n. Xây dựng này khái quát, xem Refs. Ketkar và cộng sự. và Ashikhmin và Knill . Ở đây, kích thước của mã là $D^k$ cho quDits.

Một số tác giả sử dụng $((n,K,d))_D$ để mã có chiều hướng biểu thị (chất ổn định và không ổn định) $K$ . Lưu ý rằng $K$ là sau đó không nhất thiết là một sức mạnh của $D$ .

$((5,6,2))$$[[5,2,2]]$$2^2 = 4 < 6$