Làm thế nào để thực hiện một hàm mũ ma trận trong một mạch lượng tử?

Có thể đó là một câu hỏi ngây thơ, nhưng tôi không thể tìm ra cách thực sự lũy thừa một ma trận trong mạch lượng tử. Giả sử có ma trận vuông A chung , nếu tôi muốn lấy số mũ của nó, , tôi có thể sử dụng chuỗi $e^{A}$

e^{A} ≃ I + A + \frac{A^{2}}{2!} + \frac{A^{3}}{3!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Để có xấp xỉ của nó. Tôi không nhận được cách làm tương tự bằng cách sử dụng các cổng lượng tử, sau đó áp dụng nó để thực hiện một mô phỏng Hamilton. Một số trợ giúp?

— FSic
nguồn

Không rõ liệu bạn đang nói về một mạch lượng tử lấy làm đầu vào và đầu ra Mô phỏng hay Hamilton (tức là xây dựng một mạch có ma trận đơn nhất khớp với ).

A

$A$

e^{A}

$e^A$

e^{i A}

$e^{iA}$

— Nensonee

Lỗi của tôi; ý tôi là, lấy một ma trận A, tôi muốn có trong mạch của mình số mũ của nó, .

e^{i A}

$e^{iA}$

— FSic

Cải cách câu hỏi của bạn:

Làm thế nào để thực hiện Mô phỏng Hamilton cho ma trận vuông ? $A$

Trả lời nhanh : không thể.

Mục tiêu của Mô phỏng Hamilton (HS) là tìm ra một mạch lượng tử (tức là một chuỗi các cổng) hoạt động như trên trạng thái lượng tử. Ở đây cần phải đơn nhất (vì các tính chất của cổng lượng tử) và vì vậy cũng cần phải được thống nhất. $U(t) = e^{-iAt}$ $U(t)$ $e^{-iAt}$

Vì vậy, thuật toán HS chỉ áp dụng cho ma trận sao cho là đơn nhất. Mỗi ma trận ẩn sĩ đáp ứng tài sản này, nhưng không phải mọi . Tùy thuộc vào vấn đề của bạn, giới hạn này có thể hoặc không phải là vấn đề nhưng bạn không thể sử dụng HS nếu không đơn nhất. $A$ $e^{-iAt}$ generic square matrix $e^{-iAt}$

Ví dụ: đối với thuật toán HHL (sử dụng HS của làm chương trình con) với hệ thống , nếu không đơn nhất, bạn có thể xem xét vấn đề giải quyết nó bằng HHL (hiện tại có thể bởi vì ma trận là ẩn sĩ) và phục hồi . $A$ $Ax=b$ $e^{-iAt}$

C y = (\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$

C

$C$

x

$x$

Vì vậy, câu hỏi thú vị là bây giờ:

Làm thế nào để thực hiện Mô phỏng Hamilton cho ma trận ẩn sĩ ? $A$

Và câu trả lời sẽ phụ thuộc vào các tính chất của . $A$

Đây là một chủ đề nghiên cứu lớn và có rất nhiều điều để nói về nó. Tôi sẽ không trình bày mọi phương pháp ở đây vì chúng khá phức tạp và tôi không hiểu tất cả chúng. Dưới đây là danh sách các bài báo / bài thuyết trình có liên quan đến HS và có thể rất thú vị khi bắt đầu với HS:

Mô phỏng động lực học Hamilton trên một máy tính lượng tử nhỏ : trình chiếu về HS. Ngay cả khi đó là một bài thuyết trình, đây là nguồn đầy đủ nhất mà tôi tìm thấy trên Hamiltonian Simulation. Nó trình bày nhanh chóng 3 phương pháp khác nhau và trích dẫn các bài báo thú vị cho mỗi phương pháp.
Bài giảng về thuật toán lượng tử (Andrew M. Childs, 2017) : gần đây và khá đầy đủ. HS được thảo luận trong chương 25 (trang 123).
Cải thiện theo cấp số nhân về độ chính xác để mô phỏng người Hamilton thưa thớt : trình bày chi tiết một trong 3 phương pháp được trình bày trong 1.
Các thuật toán lượng tử hiệu quả để mô phỏng người Hamilton thưa thớt : trình bày chi tiết một trong ba phương pháp được trình bày trong 1.

— Nensonee
nguồn

Cảm ơn bạn, đặc biệt là các tài liệu tham khảo, tôi sẽ xem xét chúng!

— FSic

Tôi khuyên bạn nên bắt đầu với tài liệu tham khảo đầu tiên. Nó là đầy đủ nhất và nó cung cấp liên kết đến các bài viết khác. Đối với tôi (quan điểm cá nhân), kỹ thuật đầu tiên sử dụng công thức Trotter-Suzuki là dễ hiểu nhất. Nhưng nó có thể không giống với bạn!

— Nensonee

Mọi ma trận ẩn sĩ đều thỏa mãn tính chất này : cụ thể hơn, tất cả và chỉ các ma trận

— Hermiti