Mã Bacon-Shor là gì và tầm quan trọng của nó là gì?

Tôi đang tham dự hội nghị AQC tại NASA và mọi người dường như đột nhiên nói về mã Bacon-Shor nhưng không có trang Wikipedia và pdf mà tôi đưa ra một liên kết để không thực sự giải thích nó là gì và nó hoạt động như thế nào.

Làm thế nào để nó so sánh với mã Shor ?

Sự khác biệt chính là mã Bacon-Shor là mã hệ thống con , trong khi mã Shor là mã ổn định . Họ có các toán tử ổn định giống nhau , nhưng quy trình sửa lỗi là khác nhau. Tài liệu tham khảo chính tắc cho công trình này là [Poulin] .

Mã ổn định dựa trên việc đo giá trị riêng của toán tử đi lại (bộ ổn định). Bởi vì các toán tử này đi lại, chúng ta có thể gắn nhãn các không gian con của không gian trạng thái theo các giá trị riêng này. Trong đó, 1 eigenspace doanh là codespace . Nếu bất kỳ phép đo nào của chúng tôi dẫn đến giá trị -1, chúng tôi biết rằng trạng thái đã đi ra khỏi không gian mã và có thể (hy vọng) sẽ làm gì đó để khắc phục điều này.

Với mã hệ thống con, chúng tôi cũng đo lường giá trị riêng của một số toán tử, nhưng lần này chúng không tạo thành một tập hợp các toán tử đi lại. Các toán tử này được gọi là toán tử đo . Họ tạo ra một nhóm gọi là nhóm đo . Thủ thuật cho công trình này là trung tâm của nhóm đo là nhóm ổn định. Đây là nhóm toán tử được tạo bởi các toán tử đo đi lại với mọi phần tử của nhóm đo.

Cách thức hoạt động này trong thực tế: giả sử bạn có một nhà điều hành ổn định viết như một sản phẩm của các nhà khai thác đo { g i } :$s$$\{g_i\}$

Bây giờ chúng ta đi trước và đo từng . Mỗi đo cho một ngẫu nhiên eigenvalue λ i = ± 1 nhưng sản phẩm của những λ = Π bước sóng i nhãn eigenspace của s rằng nhà nước thuộc về. Một khi chúng ta có tất cả các giá trị riêng của các chất ổn định theo cách này, chúng ta có thể (hy vọng) làm một cái gì đó để khắc phục trạng thái.$g_i$$\lambda_i = \pm 1$$\lambda = \prod \lambda_i$$s$

Một ví dụ: Tôi thấy hữu ích khi nghĩ về "mã Bacon-Shor 4 qubit". Đây là một lỗi phát hiện mã hệ thống con. Các toán tử đo là

Hãy nghĩ về những điều này như hoạt động trên một mạng lưới qubit . Những nhà khai thác tạo ra các chất ổn định X X X X và Z Z Z Z . Một khi chúng ta đo X X Tôi Tôi và Tôi Tôi X X chúng ta nhân hai phép đo eigenvalue để tìm eigenvalue của X X X X . Các toán tử đo này "dễ dàng" hơn để đo, bởi vì chúng chỉ liên quan đến hai qubit, nhưng chi phí là chúng ta làm rối tung trạng thái theo những cách khác. Những "cách khác" là các qubit đo$2\times 2$$XXXX$$ZZZZ.$$XXII$$IIXX$$XXXX$và chúng tôi không quan tâm đến những điều này. Các qubit được mã hóa, hoặc các qubit logic là những cái mà chúng ta đang cố gắng bảo tồn. Các toán tử hoạt động trên các qubit được mã hóa là các toán tử logic . Ví dụ này đây là và X Tôi X tôi . Như một bài tập, tôi sẽ khuyên bạn nên tìm ra các hàm riêng (và eigenspaces) tương ứng cho tất cả các toán tử này.$ZZII$$XIXI$

Mã Bacon-Shor lớn hơn hoạt động tương tự. Đối với một mạng lưới các qubit , có một nhóm các toán tử đo 2 qubit, được sắp xếp giống như "domino" trên mạng. Các toán tử đo loại X là các domino ngang và các toán tử đo Z loại là các domino dọc. Một đống dọc của n của X domino loại tạo ra một X loại stabilzer trên n × 2 qubit. Và như thế.$n\times n$$X$$Z$$n$$X$$X$$n\times 2$

Sự liên quan đến điện toán lượng tử đáng tin cậy là chúng ta có thể tạo thành Hamilton từ các toán tử này, dưới dạng tổng âm của các toán tử đo. Không gian mặt đất của Hamilton tương ứng với các qubit hợp lý của mã đo và các kích thích của trạng thái tương ứng với các lỗi. Đối với mã Bacon-Shor, khoảng cách của Hamiltonian này bằng không khi kích thước của hệ thống tăng lên. Do đó, Hamilton này không hoạt động để bảo vệ trạng thái được mã hóa (về mặt năng lượng.) Hamilton này còn được gọi là mô hình la bàn lượng tử .

Tôi cũng đã viết một bài báo về mã hệ thống con và người Hamilton .

^{Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm : Câu trả lời này dựa trên những gì tôi đã suy luận từ một phiên Google ngắn. Tôi có thể bổ sung / cải tiến thêm và khi nào tôi sẽ hiểu chi tiết hơn. Hãy góp ý trong các ý kiến.}

$9$ $[[9,1,3]]$$3\times 3$$m^2$ $[[m^2,1,m]]$$m\times m$bất kỳ lỗi qubit đơn nào (với xác suất cao), điều đó là đủ để có thể sửa chữa đối với bất kỳ lỗi Pauli qubit đơn nào. ^[1]

$p_X$$p_Z$$X$$Z$

$X$$Z$$p$$m=\frac{\log 2}{4p}$$X$$Z$$\tilde p(p) \lesssim \exp(\frac{-0.06}{p})$

Cũng có thể làm việc với các mã Bacon-Shor không đối xứng với các qubit trong một mảng . Mã không đối xứng có thể có hiệu suất tốt hơn khi, giả sử, lỗi có nhiều khả năng hơn lỗi ^[3] .Z $n \times m$$Z$$X$

Người giới thiệu:

1. Sửa lỗi lượng tử cho ký ức lượng tử (Barbara M. Terhal, 2015)
2. Mã Bacon-Shor tối ưu (Napp & Preskill, 2012)
3. Tính toán lượng tử chịu lỗi với mã Bacon-Shor không đối xứng (Brooks & Preskill, 2013)

Mã Shor

Có thể phát hiện và sửa các lỗi qubit đơn tùy ý, nhưng nếu có 2 hoặc nhiều lỗi qubit đơn trước vòng điều chỉnh, việc sửa sẽ thất bại. - Trực giác cho xác suất thất bại mã Shor

Mã Bacon-Shor

Mã Bacon-Shor, mã hệ thống con lượng tử rất phù hợp cho các ứng dụng cho bộ nhớ lượng tử chịu lỗi vì hội chứng lỗi có thể được trích xuất bằng cách thực hiện các phép đo hai qubit. Mã Bacon-Shor tối ưu

Trái với mã của Shor, các bộ ổn định này không thể xác định được qubit chính xác mà trên đó xảy ra lật bit, chúng chỉ có thể xác định cột mà nó xảy ra. - Sửa lỗi lượng tử

Đối với Bacon-Shor, các qubit được đặt trong một mảng vuông 2D n × n. Cũng có thể làm việc với các mã Bacon-Shor không đối xứng với các qubit trong một mảng × m. - Sửa lỗi lượng tử cho Ký ức lượng tử pg. 34$[[n^2, 1, n]]$

Chúng tôi đã chỉ ra rằng đối với mỗi mã Shor tổng quát, có một mã hệ thống con có cùng tham số nhưng yêu cầu các phép đo ổn định ít hơn đáng kể để thực hiện sửa lỗi lượng tử. - Lỗi lượng tử sửa mã hệ thống con từ hai mã tuyến tính cổ điển

Ngoài ra, đây là một video từ Microsoft Universal Fault-Tolerant Computing với Bacon-Shor Code .