Các trạng thái đồ thị qudit có được xác định rõ cho kích thước không chính không?

Các trạng thái đồ thị Qudit là các khái quát -dimension của các trạng thái đồ thị qubit sao cho mỗi trạng thái được biểu thị bằng đồ thị có trọng số (không có vòng lặp) sao cho mỗi cạnh được gán trọng số A_ {i, j} = 0, \ ldots, d-1 . Trạng thái biểu đồ được liên kết với G sau đó được đưa ra bởi | G⟩ = \ prod_ {i> j} \ textrm {CZ} _ {i, j} ^ {A_ {i, j}} | +⟩ ^ {\ otimes n} , trong đó | + = F ^ \ dagger | 0⟩ và F là cổng Fourier F = \ frac {1} {\ sqrt {d}} \ sum_ {k = 0} ^ {d-1} \ omega ^ { kl} | k⟩⟨l |. G ( i , j ) A i , j = 0 , Mạnh , d - 1 G | G ⟩ = Π i > j CZ Một i , j i , j | + ⟩ ⊗ n , | + ⟩ = F † | 0 ⟩ F F = $d$$G$$(i, j)$$A_{i, j} = 0,\ldots,d-1$$G$

$$|G⟩ = \prod_{i>j} \textrm{CZ}_{i,j}^{A_{i,j}} |+⟩^{\otimes n},$$ $|+⟩ = F^\dagger|0⟩$$F$ $$F = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{k=0}^{d-1} \omega^{kl}|k⟩⟨l|.$$

Trong các tài liệu về các trạng thái đồ thị qudit, dường như không có sự thống nhất về việc liệu các trạng thái đó chỉ được xác định cho $d$ nguyên tố hay không. Ví dụ: một số nguồn chỉ đưa ra định nghĩa trên cho $d$ Prime, chẳng hạn như

• Chia sẻ bí mật lượng tử với trạng thái đồ thị qudit
• Các trạng thái đồ thị Qudit hoàn toàn vướng víu

trong khi một số không chỉ định bất kỳ hạn chế nào như vậy, chẳng hạn như

• Nghịch lý Greenberger-Horne-Zeilinger từ Qudit Graph States
• Mã sửa lỗi lượng tử sử dụng trạng thái biểu đồ qudit

Vậy cái nào đúng? Các trạng thái đồ thị qudit (well-) có được xác định khi kích thước không phải là số nguyên tố không?

Ngoài ra, nếu vậy, chúng được xác định duy nhất?

Định nghĩa mà bạn đưa ra cho trạng thái đồ thị và đặc biệt là biến đổi Fourier lượng tử và toán tử điều khiển - trong đó chúng ta lấy là tổng quát hóa đơn nhất của toán tử Pauli , thỏa mãn cho a hoạt động hoán vị shift-by-one - tất cả đều được xác định rõ ngay cả trong kích thước tổng hợp. Biến đổi Fourier chắc chắn là một hoạt động quan tâm cho định nghĩa tùy ý; hoạt động kiểm soát vẫn là đường chéo và đơn nhất, và vẫn có các kết nối có liên quan đến như một tenxơ; không có gì về bản thân các đối tượng toán học trở nên rắc rối trong chiều tổng hợp.$F$$Z$$Z$$Z$$Z = F XF^\dagger$$X$$Z$$F$

Lý do tại sao bạn thấy quá nhiều sự nhấn mạnh vào kích thước chính về cơ bản là các qudits kích thước tổng hợp không thuận tiện để phân tích. Những lý do cho điều này phát sinh từ lý thuyết số: đặc biệt trong thực tế là trong chiều tổng hợp, người ta phải lo lắng về ước số không. Thành thật mà nói, không có nhiều người trong lĩnh vực nghĩ mình là nhà lý thuyết số và rất ít nhà nghiên cứu (trong số các tác giả hoặc độc giả của bài báo) có nhiều kiên nhẫn cho các hệ thống số không phải là lĩnh vực như các ví dụ được yêu thích của , , và tất nhiên các số nguyên modulo một số nguyên tố ,$\mathbb C$$\mathbb R$$\mathbb Q$$p$$\mathbb Z_p$. Vì lý do này, bạn sẽ hiếm khi thấy các tham chiếu đến các qudits của kích thước tổng hợp ở bất cứ đâu trong trường. Ngay cả khi bạn làm, mối quan tâm chính của sự thuận tiện toán học thường sẽ thúc đẩy một số hạn chế khác.

Lý thuyết thông tin lượng tử đôi khi có thể sử dụng lý thuyết số và toán học thuần túy nói chung, nhưng không có lỗi: lĩnh vực này không có nhiều sự trùng lặp với các ưu tiên của toán học thuần túy. Nếu một định nghĩa được trình bày theo cách có vẻ bị hạn chế một cách kỳ lạ, thì rất có thể đó là vì nó cho phép kết quả được đưa ra sẽ khó khăn hơn nhiều, hoặc thậm chí chỉ hơi khó xử hơn một chút, để chứng minh mà không bị hạn chế đó - và nó được coi là quan trọng hơn để công khai các ví dụ về kết quả nghe có vẻ nổi bật hơn là trình bày các lý thuyết toán học hoàn chỉnh hợp lý.