Làm thế nào để chứng minh / từ chối tính phổ quát cho một bộ cổng?

Một bộ cổng phổ quát có thể bắt chước hoạt động của bất kỳ loại cổng nào khác, với đủ các cổng. Ví dụ, một tập phổ quát của cổng lượng tử là Hadamard (  $H$  ), các $\pi/8$ giai đoạn chuyển đổi (  $T$  ), và $\mathrm{CNOT}$ cổng. Làm thế nào một người có thể từ chối hoặc chứng minh tính phổ quát của một tập hợp các cổng như $\{H,T\}$ , $\{\mathrm{CNOT},T\}$ hoặc $\{\mathrm{CNOT}, H\}$ ?

Quốc tế có thể là một điều rất tinh tế mà khá khó để chứng minh. Thường có hai lựa chọn để chứng minh điều đó:

• hiển thị trực tiếp, bằng cách sử dụng các cổng đã chọn của bạn, cách xây dựng bất kỳ đơn vị tùy ý nào về kích thước tùy ý (không có ràng buộc về kích thước của công trình, chỉ có thể được thực hiện) với độ chính xác tùy ý (trên một số không gian phụ không tầm thường của Hilbert đầy đủ không gian).

• chỉ ra cách tập hợp các cổng đã chọn của bạn có thể được sử dụng để tạo lại (để chính xác tùy ý) một bộ phổ quát hiện có.

Ngược lại, nếu bạn muốn từ chối nó, bạn cho thấy rằng hiệu ứng của bộ cổng của bạn luôn có thể được mô phỏng theo mô hình tính toán (giả định) ít hơn, thường là tính toán cổ điển.

Có một số phương pháp phỏng đoán mà bạn có thể sử dụng để được hướng dẫn:

• bạn phải có một cổng đa qubit trong tập hợp của bạn. Nếu tất cả những gì bạn có là cổng đơn qubit, bạn có thể mô phỏng từng qubit một cách độc lập trên máy tính cổ điển. Vì vậy, nếu chúng ta tin rằng máy tính lượng tử mạnh hơn cổ điển, thì các cổng qubit đơn lẻ không phải là phổ biến cho tính toán lượng tử. Quy tắc này ra {H, T}.

• bạn phải có một cổng tạo ra sự chồng chất. Quy tắc này ra {CNOT, T}. Một lần nữa, đây là một tính toán cổ điển với việc bổ sung một giai đoạn toàn cầu không liên quan.

Tất nhiên, đây không phải là điều kiện đủ: bộ {H, S, CNOT} cũng có thể được mô phỏng hiệu quả (xem định lý Gottesman-Knill). Điều này cũng phải đúng với {H, CNOT} vì chúng là tập hợp con và do đó, các thao tác mà chúng có thể tạo không nhiều hơn các hoạt động của tập gốc.

Một trong những bộ phổ quát mà tôi thấy thú vị nhất là {Toffoli, H} . Tôi luôn cảm thấy ngạc nhiên khi điều này là đủ (đặc biệt là khi bạn so sánh với bộ trước đó). Lưu ý rằng nó không liên quan đến bất kỳ số phức.

$$\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

Nielsen và Chuang, trang 191 của phiên bản kỷ niệm 10 năm:

Chúng tôi vừa chỉ ra rằng một ma trận đơn vị tùy ý trên một $d$không gian Hilbert hai chiều có thể được viết như một sản phẩm của ma trận đơn vị hai cấp. Bây giờ chúng tôi chỉ ra rằng các cổng qubit và CNOT đơn lẻ có thể được sử dụng để thực hiện một hoạt động đơn nhất hai cấp tùy ý trên không gian trạng thái của$n$qubit. Kết hợp những kết quả này, chúng ta thấy rằng các cổng qubit và CNOT đơn có thể được sử dụng để thực hiện một hoạt động đơn nhất tùy ý trên$n$ qubit và do đó là phổ quát cho tính toán lượng tử.

Câu đầu tiên có một kết quả được chấp nhận, vì vậy bạn chỉ cần chỉ ra rằng sự kết hợp của bộ cổng của bạn có thể thực hiện "một hoạt động đơn nhất hai cấp tùy ý". Để trích dẫn Wikipedia:

Về mặt kỹ thuật, điều này là không thể vì số lượng cổng lượng tử có thể là không thể đếm được, trong khi số lượng các chuỗi hữu hạn từ một tập hữu hạn là có thể đếm được. Để giải quyết vấn đề này, chúng tôi chỉ yêu cầu bất kỳ hoạt động lượng tử nào cũng có thể được xấp xỉ bằng một chuỗi các cổng từ tập hữu hạn này.

Xem thêm bài viết này .