Ước lượng pha lượng tử và thuật toán HHL - kiến thức về giá trị bản địa cần có?

Các thuật toán ước lượng pha lượng tử (QPE) tính ra một xấp xỉ của eigenvalue liên quan đến một eigenvector nhất định của một cổng lượng tử . $U$

Chính thức, chúng ta hãy là một eigenvector của , QPE cho phép chúng tôi để tìm , là tốt nhất chút xấp xỉ của mà và $\left|\psi\right>$ $U$ $\vert\tilde\theta\rangle$ $m$ $\lfloor2^m\theta\rfloor$ $\theta \in [0,1)$

U | ψ ⟩ = e^{2 π i θ} | ψ ⟩ .

$U\vert\psi\rangle = e^{2\pi i \theta} \vert\psi\rangle.$

Các thuật toán HHL ( giấy ban đầu ) mất như là đầu vào một ma trận mà thỏa mãn và một trạng thái lượng tử và tính mã hóa các giải pháp của hệ thống tuyến tính . $A$

e^{i A t} is unitary

$e^{iAt} \text{ is unitary }$

| b ⟩

$\vert b \rangle$

| x ⟩

$\vert x \rangle$

A x = b

$Ax = b$

Ghi chú : Mỗi ma trận Hermitian statisfy điều kiện trên . $A$

Để làm như vậy, thuật toán HHL sử dụng QPE trên cổng lượng tử được đại diện bởi . Nhờ kết quả đại số tuyến tính, chúng ta biết rằng nếu là những giá trị riêng của thì là những giá trị riêng của . Kết quả này cũng được nêu trong các thuật toán hệ thống tuyến tính lượng tử: một mồi (Dervovic, Herbster, Mountney, Severini, Usher & Wossnig, 2018) (trang 29, giữa các phương trình 68 và 69). $U = e^{iAt}$ $\left\{\lambda_j\right\}_j$ $A$ $\left\{e^{i\lambda_j t}\right\}_j$ $U$

Với sự trợ giúp của QPE, bước đầu tiên của thuật toán HLL sẽ cố gắng ước tính sao cho . Điều này dẫn chúng ta đến phương trình tức là Bằng cách phân tích một chút ý nghĩa của các điều kiện và , tôi đã kết thúc với kết luận rằng nếu (tức là ), thuật toán ước tính pha không thành công dự đoán đúng giá trị riêng. $\theta \in [0,1)$ $e^{i2\pi \theta} = e^{i\lambda_j t}$

2 π θ = λ_{j} t + 2 k π, k \in Z, θ \in [0, 1)

$2\pi \theta = \lambda_j t + 2k\pi, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

θ = \frac{λ_{j} t}{2 π} + k, k \in Z, θ \in [0, 1)

$\theta = \frac{\lambda_j t}{2\pi} + k, \qquad k\in \mathbb{Z}, \ \theta \in [0,1)$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0,1)$

\frac{λ_{j} t}{2 π} \notin [0, 1)

$\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

k \neq 0

$k \neq 0$

Nhưng vì có thể là bất kỳ ma trận ẩn sĩ nào, chúng ta có thể tự do lựa chọn các giá trị riêng của nó và đặc biệt chúng ta có thể chọn các giá trị riêng lớn cho sao cho QPE sẽ thất bại ( ). $A$ $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

Trong Thiết kế mạch lượng tử để giải các hệ phương trình tuyến tính (Cao, Daskin, Frankel & Kais, 2012) họ giải quyết vấn đề này bằng cách mô phỏng , biết rằng các giá trị riêng của là . Họ đã chuẩn hóa ma trận (và giá trị riêng của nó) để tránh trường hợp . $e^{\frac{iAt}{16}}$ $A$ $\left\{ 1, 2, 4, 8 \right\}$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \notin [0,1)$

Mặt khác, có vẻ như tham số có thể được sử dụng để thực hiện chuẩn hóa này. $t$

Câu hỏi: Chúng ta có cần biết giới hạn trên của các giá trị riêng của để chuẩn hóa ma trận và chắc chắn rằng phần QPE của thuật toán HHL sẽ thành công? Nếu không, làm thế nào chúng ta có thể đảm bảo rằng QPE sẽ thành công (tức là )? $A$ $\frac{\lambda_j t}{2\pi} \in [0,1)$

algorithm hhl-algorithm phase-estimation

— Nensonee
nguồn

Hãy nói . Bạn đang nói lambda không bao giờ có thể là tiêu cực? Có gì sai khi có một giá trị riêng âm? Giả sử và . Sau đó: và . Giá trị hoàn toàn hợp lệ cho . Điều gì là sai với điều đó? Tại sao phải dương hoặc ? Eigenvalues có thể âm tính.

t = 1

$t=1$

k = 2

$k=2$

t = 1

$t=1$

0 < (λ / 2 π) + 2 < 1

$0 < (\lambda / 2\pi) + 2 < 1$

- 4 π < λ < - 2 π

$-4\pi < \lambda < -2\pi$

λ = - 3 π

$\lambda = -3\pi$

λ / 2 π

$\lambda/2\pi$

0

$0$

— 1271772

@ user1271772 Trong trường hợp này là không, không bao giờ có thể âm bởi vì QPE áp đặt rằng . Nếu (vì bạn đã cắm một ma trận có giá trị riêng âm, tất nhiên điều này là có thể), thì đầu ra của QPE sẽ không đại diện cho mà là với , tức là " modulo " và điều này sẽ làm cho thuật toán HHL thất bại.

λ

$\lambda$

θ \in [0, 1)

$\theta \in [0, 1)$

λ < 0

$\lambda < 0$

λ

$\lambda$

λ - 2 k π

$\lambda - 2k\pi$

k = ⌊ \frac{λ}{2 π} ⌋

$k = \lfloor \frac{\lambda}{2\pi} \rfloor$

λ

$\lambda$

2 π

$2\pi$

— Nensonee

Bạn nên biết một ràng buộc về giá trị riêng (cả trên và dưới). Như bạn nói, sau đó bạn có thể bình thường hóa bằng cách thay đổi kích thước . Thật vậy, bạn nên làm điều này để có được ước tính chính xác nhất có thể, trải đều các giá trị trên toàn bộ phạm vi . Giới hạn giá trị bản địa thường không phải là một vấn đề. Ví dụ: có thể bạn yêu cầu ma trận của bạn phải thưa thớt, do đó không có quá nhiều phần tử ma trận khác không trên mỗi hàng. Trên thực tế, các đặc điểm kỹ thuật vấn đề có thể cung cấp cho bạn một ràng buộc về số của non-zero mục cho mỗi hàng, và giá trị lớn nhất của bất kỳ mục . $A$ $t$ $\lambda t$ $2\pi$ $A$ $N$ $Q$

Sau đó, bạn có thể áp dụng một cái gì đó như định lý vòng tròn Gershgorin. Điều này nói rằng giá trị riêng tối đa được giới hạn trên bởi và mức tối thiểu được giới hạn bởi Các là những yếu tố ma trận của .

max_{i} a_{i i} + \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \leq N Q,

$\max_i a_{ii}+\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\leq NQ,$

min_{i} a_{i i} - \sum_{j \neq i} | a_{i j} | \geq - N Q .

$\min_ia_{ii}-\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\geq -NQ.$

a_{i j}

$a_{ij}$

A

$A$

Trong các giá trị của , , nếu bạn lo lắng rằng đối với một ma trận lớn (giả sử qubit), trong khi tổng hàng có thể dễ dàng tính toán (vì không có nhiều mục), tối đa trên tất cả các hàng có thể mất nhiều thời gian thời gian (vì có hàng), sẽ có nhiều cách khác nhau để có được xấp xỉ tốt cho nó (ví dụ: lấy mẫu hoặc sử dụng kiến thức về cấu trúc vấn đề). Trường hợp xấu nhất, có lẽ bạn có thể sử dụng tìm kiếm của Grover để tăng tốc nó lên một chút. $N$ $Q$ $n$ $2^n$

— DaftWullie
nguồn

Grover không phải là một cải tiến: ngay cả khi chúng tôi có thể sử dụng thuật toán, chúng tôi vẫn sẽ cần các truy vấn , phá hủy sự cải thiện theo cấp số nhân của phương pháp cổ điển và thay thế nó bằng cách tăng tốc bậc hai. Vì vậy, hy vọng duy nhất còn lại là lấy mẫu (giới thiệu một nguồn lỗi khác) hoặc cầu nguyện và hy vọng rằng vấn đề cho phép chúng tôi ước tính giới hạn trên / dưới. Có vẻ như là một lỗ hổng lớn của thuật toán đối với tôi.

O (\sqrt{N})

$\mathcal{O}(\sqrt{N})$

— Nensonee

Chắc chắn, tôi chỉ có nghĩa là Grover cung cấp cho bạn một tốc độ căn bậc hai so với cách ngây thơ để có được tối đa. Tất nhiên điều đó có tác động xấu đến thời gian chạy tổng thể.

— DaftWullie

Ước lượng pha lượng tử và thuật toán HHL - kiến ​​thức về giá trị bản địa cần có?

Ước lượng pha lượng tử và thuật toán HHL - kiến thức về giá trị bản địa cần có?