^{Lưu ý về từ vựng: từ "hamiltonian" được sử dụng trong câu hỏi này để nói về ma trận ẩn sĩ.}

Thuật toán HHL dường như là một chủ đề nghiên cứu tích cực trong lĩnh vực điện toán lượng tử, chủ yếu là vì nó giải quyết được một vấn đề rất quan trọng là tìm ra giải pháp của một hệ phương trình tuyến tính.

Theo thuật toán lượng tử giấy ban đầu để giải các hệ phương trình tuyến tính (Harrow, Hassidim & Lloyd, 2009) và một số câu hỏi được đặt ra trên trang web này

thuật toán HHL được giới hạn trong một số trường hợp cụ thể. Dưới đây là một bản tóm tắt (có thể không đầy đủ!) Về các đặc điểm của thuật toán HHL:

Thuật toán HHL

Thuật toán HHL giải hệ phương trình tuyến tính với những hạn chế sau:

A | x ⟩ = | b ⟩

$A \vert x \rangle = \vert b \rangle$

Hạn chế đối với : $A$

cần phải là Hermiti (và chỉ có ma trận Hermiti hoạt động, xemcuộc thảo luận này trong cuộc trò chuyện). $A$
trị riêng của cần phải nằm trong (xemước lượng pha lượng tử và thuật toán HHL - kiến thức về giá trị riêng cần có?) $A$ $[0,1)$
cần phải được thực hiện một cách hiệu quả. Tại thời điểm các ma trận duy nhất được biết đáp ứng tính chất này là:
- hamiltonians địa phương (xem Bộ mô phỏng lượng tử toàn cầu (Lloyd, 1996) ).
- Hamilton không rõ ràng (xemThế hệ lượng tửđáng tin cậyvà kiến thức không thống kê (Aharonov & Ta-Shma, 2003)). $s$

Hạn chế về : $\vert b \rangle$

nên hiệu quả preparable. Đây là trường hợp cho:
1. Biểu thức cụ thể của . Ví dụ nhà nước $\vert b \rangle$ có hiệu quả chuẩn bị. $| b ⟩ = ⨂_{i = 0}^{n} (\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})$ $\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$
2. đại diện cho discretisation của một phân bố xác suất khả tích một cách hiệu quả (xemTạo sự chồng chất mà tương ứng với phân bố xác suất khả tích một cách hiệu quả (Grover & Rudolph, 2002)). $\vert b \rangle$

Hạn chế về (đầu ra): $\vert x \rangle$

không thể phục hồi hoàn toàn bằng thực nghiệm. Thông tin duy nhất chúng tôi có thể phục hồi từ là một "thông tin tổng quát" ( "kỳ vọng giá trị" là một thuật ngữ được sử dụng trong các giấy HHL gốc) như $\vert x \rangle$ $\vert x \rangle$ $⟨ x | M | x ⟩$ $\langle x\vert M\vert x \rangle$

Câu hỏi: Có tính đến tất cả những hạn chế này và tưởng tượng chúng ta đang ở vào năm 2050 (hoặc có thể là vào năm 2025, ai biết được?) Với các chip lượng tử quy mô lớn chịu lỗi (nghĩa là chúng ta không bị giới hạn bởi phần cứng), những vấn đề trong thế giới thực thuật toán HHL có thể giải quyết (bao gồm các vấn đề trong đó HHL chỉ được sử dụng làm chương trình con) không?

Tôi biết về bài viết Phân tích tài nguyên cụ thể của thuật toán hệ thống tuyến tính lượng tử được sử dụng để tính toán mặt cắt tán xạ điện từ của mục tiêu 2D (Scherer, Valiron, Mau, Alexander, van den Berg & Chapuran, 2016) và về việc thực hiện tương ứng trong các ngôn ngữ lập trình Quipper và tôi đang tìm kiếm ví dụ thực tế khác, nơi HHL sẽ được áp dụng trong thực tế. Tôi không yêu cầu một bài báo được xuất bản, thậm chí không phải là một bài báo chưa xuất bản, tôi chỉ muốn có một số ví dụ về các trường hợp sử dụng trong thế giới thực .

BIÊN TẬP:

Ngay cả khi tôi quan tâm đến mọi trường hợp sử dụng, tôi vẫn thích một số ví dụ trong đó HHL được sử dụng trực tiếp, tức là không được sử dụng như một chương trình con của một thuật toán khác.

Tôi thậm chí còn quan tâm nhiều hơn đến các ví dụ về các hệ thống tuyến tính dẫn đến sự rời rạc của một toán tử vi phân có thể được giải quyết bằng HHL.

Nhưng hãy để tôi nhấn mạnh thêm một lần nữa tôi quan tâm đến mọi trường hợp sử dụng (chương trình con hay không) mà bạn biết .

algorithm hhl-algorithm applications

— Nensonee
nguồn

Bạn đề cập rằng bạn muốn một số ví dụ trong đó HHL được "sử dụng trực tiếp". Tôi không rõ lắm về ý của bạn. Tôi biết một số thuật toán (có thể có khả năng sử dụng thực tế) trong đó HHL là một trong những bước chính, nhưng chắc chắn không phải là bước duy nhất . Liệu một cái gì đó như nhận ra các chuỗi di truyền sử dụng HHL là một trong những bước chính (tuân theo tất cả các ràng buộc bạn đã đề cập), có phải là một câu trả lời phù hợp? Các bước cơ bản khác chủ yếu liên quan đến mô phỏng Hamilton và chuẩn bị nhà nước.

— Sanchaya Dutta

Tôi muốn một số ví dụ trong đó HHL được sử dụng trực tiếp. Nó có nghĩa là vấn đề có thể được xây dựng trực tiếp như một hệ phương trình tuyến tính để giải. Đây là trường hợp khi giải phương trình vi phân: chúng tôi phân biệt phương trình và giải bài toán rời rạc, phần lớn thời gian là một hệ tuyến tính thưa thớt. Nhưng các ví dụ khác được hoan nghênh.

— Nensonee

4

Một vài năm trước, Montanaro và Pallister đã thể hiện trong thuật toán lượng tử và phương pháp phần tử hữu hạn rằng thuật toán HHL có thể được áp dụng cho Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), đây là một "kỹ thuật tìm hiệu quả xấp xỉ bằng số cho các giải pháp giá trị biên các vấn đề (BVP) đối với các phương trình vi phân từng phần, dựa trên việc phân tách không gian tham số thông qua một lưới hữu hạn " .

Họ đã chỉ ra rằng trong bối cảnh này, HHL có thể được sử dụng để đạt được (có lẽ nhiều nhất) một sự tăng tốc đa thức so với thuật toán cổ điển tiêu chuẩn ("phương pháp gradient liên hợp").

Đối với các trường hợp sử dụng trong thế giới thực, họ tuyên bố rằng

$n$

$A$

— SLesslyTall
nguồn

2

M

$M$

M

$M$

s

$s$

s = 3

$s=3$

0

Rebentrost et al. gần đây đã sử dụng thuật toán HHL09 trong bài báo Mạng lưới thần kinh lượng tử (2018) của họ , để tối ưu hóa chức năng năng lượng của mạng Hopfield .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$ $Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

L = = - \frac{1}{2} x^{T} W x + θ^{T} x - λ^{T} (P x - x^{(bao gồm)}) + \frac{γ}{2} x^{T} x

$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx - \lambda^T (Px - x^{\text{(inc)}}) + \frac{\gamma}{2}x^T x$

\frac{\partial L}{\partial x} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$

\frac{\partial L}{\partial λ} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$

A v = w

$A \mathbf{v} = \mathbf{w}$

γ

$\gamma$

v

$\mathbf{v}$

P x = x^{(inc)}

$Px = x^{(\text{inc})}$

Nói tóm lại, tôi tin rằng một khi chúng ta có máy tính lượng tử với số lượng qubit và thời gian trang trí đủ lớn, thuật toán HHL sẽ là một trong những chương trình con hữu ích nhất cho bất kỳ thuật toán học máy lượng tử nào (vì hầu hết tất cả các máy học và mạng thần kinh các thuật toán liên quan đến một số dạng "độ dốc gốc" hoặc "tối ưu hóa").

— Daya
nguồn

Điều gì có thể là các ứng dụng trong tương lai có thể cho thuật toán HHL?

Thuật toán HHL

Hạn chế đối với :AAA

Hạn chế về :|b⟩|b⟩\vert b \rangle

Hạn chế về (đầu ra):|x⟩|x⟩\vert x \rangle

Hạn chế đối với : $A$

Hạn chế về : $\vert b \rangle$

Hạn chế về (đầu ra): $\vert x \rangle$