Các trạng thái lượng tử là các vectơ đơn vị đối với định mức nào?

Định nghĩa chung nhất về trạng thái lượng tử mà tôi tìm thấy là (đọc lại định nghĩa từ Wikipedia )

Các trạng thái lượng tử được biểu diễn bằng một tia trong không gian Hilbert hữu hạn hoặc vô hạn trên các số phức.

Hơn nữa, chúng ta biết rằng để có một biểu diễn hữu ích, chúng ta cần đảm bảo rằng vectơ đại diện cho trạng thái lượng tử là một vectơ đơn vị .

Nhưng trong định nghĩa trên, họ không chính xác định mức (hoặc sản phẩm vô hướng) liên quan đến không gian Hilbert được xem xét. Thoạt nhìn tôi mặc dù định mức đó không thực sự quan trọng, nhưng tôi nhận ra ngày hôm qua rằng chuẩn mực ở khắp mọi nơi được chọn là chuẩn Euclidian (2-Norm). Ngay cả ký hiệu bra-ket dường như cũng được tạo riêng cho định mức eidianidian.

Câu hỏi của tôi: Tại sao định mức Euclidian được sử dụng ở mọi nơi? Tại sao không sử dụng một định mức khác? Liệu định mức Euclidian có các tính chất hữu ích có thể được sử dụng trong cơ học lượng tử mà những người khác không có?

Quy tắc sinh ra nói rằng là xác suất tìm thấy hệ lượng tử ở trạng thái | x ⟩ sau một phép đo. Chúng ta cần tổng (hoặc tích phân!) Trên tất cả x để là 1:$|\psi(x)|^2 = P(x)$$|x\rangle$$x$

Cả hai đều không phải là chuẩn mực hợp lệ bởi vì chúng không đồng nhất . Bạn có thể làm cho chúng đồng nhất đơn giản bằng cách thực hiện căn bậc hai:

và bạn có thể nhận ra đây là chuẩn Euclide và khái quát hóa định mức Euclide thành một miền không rời rạc. Chúng tôi cũng có thể sử dụng một tiêu chuẩn khác nhau:

đối với một số ma trận xác định dương / hàm A.

Tuy nhiên, một -norm với p > 2 sẽ không hữu ích vì ví dụ:$p$$p>2$

không phải là 1.

Theo cách này, chuẩn mực Euclide là đặc biệt bởi vì 2 là sức mạnh trong quy tắc của Sinh, là một trong những định đề của cơ học lượng tử.

Một số thuật ngữ có vẻ hơi lộn xộn ở đây. Các trạng thái lượng tử được biểu diễn (trong một không gian Hilbert hữu hạn) bằng các vectơ phức tạp có độ dài 1, trong đó chiều dài được đo bằng chỉ tiêu Euclide. Chúng không đơn nhất, bởi vì đơn vị là một phân loại của một ma trận, không phải là một vectơ.

Các trạng thái lượng tử được thay đổi / phát triển theo một số ma trận. Cho rằng các trạng thái lượng tử có độ dài 1, hóa ra là cần thiết và đủ để các bản đồ của trạng thái tinh khiết đến trạng thái tinh khiết được mô tả bằng ma trận đơn vị. Đây là những ma trận duy nhất bảo tồn định mức (Euclide).

Đó chắc chắn là một câu hỏi hợp lệ "chúng ta có thể sử dụng một định mức ( ) khác nhau cho các trạng thái lượng tử của mình không?" Nếu sau đó bạn phân loại các hoạt động ánh xạ trạng thái chuẩn hóa thành trạng thái chuẩn hóa, thì chúng bị giới hạn đáng kinh ngạc. Nếu p ≠ 2 , các hoạt động chỉ có giá trị là ma trận hoán vị (với các giai đoạn khác nhau trên mỗi phần tử). Vật lý sẽ nhàm chán hơn rất nhiều.$p$$p\neq 2$

Một cách tốt để có được cảm giác về điều này là thử vẽ một bộ trục 2D. Vẽ trên đó các hình tương ứng với tập hợp các điểm có độ dài 1 dưới các -norms khác nhau . p = 2 mang đến cho bạn vòng tròn, p = 1 mang đến cho bạn một viên kim cương, và p → ∞ cung cấp cho một hình vuông. Những hoạt động bạn có thể làm mà ánh xạ hình dạng lên chính nó? Đối với vòng tròn, đó là bất kỳ vòng quay nào. Đối với bất cứ điều gì khác, nó chỉ là phép quay theo bội số của π / 2 . Sau đây đến từ Wikipedia:$p$$p=2$$p=1$$p\rightarrow\infty$$\pi/2$

Nếu bạn muốn biết thêm chi tiết, bạn có thể muốn xem ở đây .

Về mặt toán học hơn, bởi vì với chỉ tiêu L p là không gian Hilbert chỉ với p = 2 .$\mathbb{R}^n$$L^p$$p=2$

Một lập luận thanh lịch có thể được bắt nguồn bằng cách hỏi mà lý thuyết chúng ta có thể xây dựng được mô tả bởi vectơ , nơi những biến đổi cho phép là biến đổi tuyến tính$\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ , xác suất được đưa ra bởi một số định mức, và xác suất phải được bảo tồn bởi những bản đồ đó.$\vec v\to L\vec v$

Hóa ra về cơ bản chỉ có ba lựa chọn:

1. Lý thuyết xác định. Sau đó, chúng ta không cần các vectơ đó, vì chúng ta luôn ở trong một trạng thái cụ thể, tức là các vectơ là và tương tự, và L chỉ là hoán vị.$(0,1,0,0,0)$$L$

2. Lý thuyết xác suất cổ điển. Ở đây, chúng tôi sử dụng bản đồ -norm và stochastic. Các v tôi là xác suất.$1$$v_i$

3. Cơ lượng tử. Ở đây, chúng tôi sử dụng các phép biến đổi cực và đơn vị. Các v i là biên độ.$2$$v_i$

Đây là những khả năng duy nhất. Đối với các chuẩn mực khác không có biến đổi thú vị tồn tại.

Nếu bạn muốn có một lời giải thích chi tiết và hay hơn về điều này, "Máy tính lượng tử kể từ Democritus" của Scott Aaronson có một Bài giảng về điều này , cũng như một bài báo .

$p=2$$L^p$

$M_{ij}$$\sum x_i^* M_{ij} y_j$$M$$M_{ii} \mid x_i \mid^2$$\mid x_i \mid^2$$M_{ii}>0$ so why not just change variables to $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$. You can think of this as $L^2$ functions on the space of $n$ points where each point is weighted by $M_{ii}$.

For the continuous 1 variable case, yes you could use $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ as well. $w(x)$ just reweights the lengths. That's still a perfectly good Hilbert space. But the problem is that translation $x \to x+a$ was supposed to be a symmetry and $w(x)$ breaks that. So might as well not use $w(x)$. For some purposes, that symmetry is not present, so you do have a $w(x) \neq 1$.

In some cases it is useful not to move to standard form. It shuffles around how you do some calculations. For example, if you're doing some numerics, then you can reduce your errors by this sort of reshuffling to avoid really small or large numbers that your machine finds difficult.

A tricky thing is to make sure you keep track of when you changed your variables and when you didn't. You don't want to get confused between changing to the standard inner product doing some unitary and changing variables back vs trying to do that in one step. You are likely to drop factors of $\sqrt{M_{ii}}$ etc by mistake, so be careful.

The Euclidean norm on an $n$-dimensional space, as defined here, is not the only norm used for quantum states.

A quantum state doesn't have to be defined on an n-dimensional Hilbert space, for example the quantum states for a 1D harmonic oscillator are functions $\psi_i(x)$ whose ortho-normality is defined by:

If $i=j$ we get:

because the total probability must be 1.
If $i\ne j$, we get 0, meaning that the functions are orthogonal.

The Euclidean norm, as defined in the link I gave, is more for quantum states on discrete variables where $n$ is some countable number. In the above case, $n$ (which is the number of possible values that $x$ can be) is uncountable, so the norm doesn't fit into the definition given for a Euclidean norm on an $n$-dimensional pace.

We could also apply a square root operator to the above norm, and still we'd have the required property that $\int P(x)dx=1$, and the Euclidean norm can then be thought of as a special case of this norm though, for the case where $x$ can only be chosen from some countable number of values. The reason why we use the above norm in quantum mechanics is because it guarantees that the probability function $P(x)$ integrates to 1, which is a mathematical law based on the definition of probability. If you had some other norm which can guarantee that all laws of probability theory are satisfied, you would be able to use that norm too.