Mô phỏng Hamilton với các hệ số phức tạp

Là một phần của thuật toán biến thiên, tôi muốn xây dựng một mạch lượng tử (lý tưởng nhất là với pyQuil ) mô phỏng một Hamiltonian có dạng:

$H = 0.3 \cdot Z_3Z_4 + 0.12\cdot Z_1Z_3 + [...] + - 11.03 \cdot Z_3 - 10.92 \cdot Z_4 + \mathbf{0.12i \cdot Z_1 Y_5 X_4}$

Khi nói đến thuật ngữ cuối cùng, vấn đề là pyQuil đưa ra lỗi sau:

TypeError: PauliTerm coefficient must be real

Tôi bắt đầu đi sâu vào văn học và nó có vẻ như là một vấn đề không hề nhỏ. Tôi đã xem qua bài viết này về người Hamilton lượng tử phổ quát nơi mã hóa phức tạp đến thực tế cũng như mã hóa địa phương được thảo luận. Tuy nhiên, tôi vẫn chưa rõ làm thế nào một người thực tế sẽ thực hiện một cái gì đó như thế này. Bất cứ ai có thể cho tôi một số lời khuyên thiết thực để giải quyết vấn đề này?

Một người Hamilton thông thường là Hermiti. Do đó, nếu nó có chứa một thuật ngữ không phải là Hermiti, thì nó cũng phải chứa thuật ngữ Hermiti conjuagte của nó như một thuật ngữ khác hoặc có trọng số 0. Trong trường hợp cụ thể này, vì là Hermitian tự, hệ số sẽ phải là 0. Vì vậy, nếu bạn đang nói về Hamilton thông thường, bạn đã có thể làm cho một sai lầm trong tính toán của bạn. Lưu ý rằng nếu không có liên hợp Hermiti của thuật ngữ này, bạn không thể sửa chữa mọi thứ bằng cách thêm nó vào; nó sẽ cho bạn một kết quả hoàn toàn khác$Z\otimes X\otimes Y$

Mặt khác, bạn có thể muốn thực hiện một Hamiltonian không phải là Hermiti . Những điều này tồn tại, thường là để mô tả các quá trình tiếng ồn, nhưng gần như không phổ biến. Bạn cần bao gồm một cách rõ ràng thuật ngữ "không phải là Hermiti", nếu không mọi người sẽ chỉ nghĩ rằng những gì bạn đang làm là sai bởi vì đó không phải là Hermiti, và một người Hamilton nên là Hermiti. Tôi không quá quen thuộc với những khả năng mà các trình giả lập khác nhau cung cấp, nhưng tôi sẽ ngạc nhiên nếu chúng được tích hợp tính không ẩn.

Tuy nhiên, bạn có thể mô phỏng nó, với chi phí thực hiện không xác định. Sẽ có nhiều phương pháp phức tạp hơn phương pháp này (xem các liên kết trong câu trả lời này ), nhưng hãy để tôi mô tả một phương pháp đặc biệt đơn giản: Tôi sẽ giả sử chỉ có một thành phần không phải là Hermiti, đó là (một sản phẩm tenor của Paulis ). Tôi sẽ gọi cho sản phẩm tensor này Paulis K . Phần còn lại của Hamilton là H . Bạn muốn tạo ra sự tiến hóa e - i H t + K t Chúng tôi bắt đầu bằng cách Trotterising sự tiến hóa, e - i H t + K t = $i\times$$K$$H$

Chúng tôi giới thiệu một qubit ancilla trong tiểu bang , và chúng tôi sử dụng như qubit kiểm soát trong một controlled- K cổng. Sau đó, chúng tôi đo ancilla trong { | ψ ⟩ , | ψ ⊥ ⟩ } cơ sở (nơi ⟨ ψ | ψ ⊥ ⟩ = 0 ). Nếu kết quả là | ψ ⟩ , sau đó trên các qubit mục tiêu, chúng tôi đã thực hiện các hoạt động | alpha $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$K$$\{|\psi\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\langle\psi|\psi^\perp\rangle=0$$|\psi\rangle$ , lên mức bình thường. Vì vậy, nếu bạn sửa ( 1 - | α | 2 ) / | alpha | 2 = tanh ( δ t ) , bạn đã hoàn toàn thực hiện rằng hoạt động. Nếu phép đo thất bại, tùy thuộc vào việc bạn muốn thử phục hồi (điều này có thể không thực hiện được) hoặc bắt đầu lại.$|\alpha|^2\mathbb{I}+|\beta|^2K$$(1-|\alpha|^2)/|\alpha|^2=\tanh(\delta t)$

$i0.12Z_1Y_2X_3$

z=[1 0 ; 0 -1];
x=[0 1;  1  0];
y=[0 -1i; 1i 0];

z1 = kron(z,eye(4));
y2 = kron(kron(eye(2),y),eye(2));
x3 = kron(eye(4),x);

H=0.12*1i*z1*y2*x3

Đầu ra là H:

    0     0    0 0.12    0    0     0     0
    0     0 0.12    0    0    0     0     0
    0 -0.12    0    0    0    0     0     0
-0.12     0    0    0    0    0     0     0
    0     0    0    0    0    0     0 -0.12
    0     0    0    0    0    0 -0.12     0
    0     0    0    0    0 0.12     0     0
    0     0    0    0 0.12    0     0     0

Vì nó là một ma trận thực, Hermiti có nghĩa là đối xứng, nhưng đây không phải là đối xứng và do đó không phải là Hermiti. Tam giác trên cùng bên phải không bằng tam giác dưới cùng bên phải.

Tuy nhiên, tam giác trên cùng bên phải là âm của tam giác dưới cùng bên phải, vì vậy nó là chống Hermiti.

Vì vậy, thực hiện đề xuất của AHussain về việc thêm chuyển đổi liên hợp, kết quả là 0. Chỉ cần chạy lệnh này:

H + H'

và bạn sẽ nhận được ma trận 8 x 8.

Vì vậy, khi bạn tạo Hamiltonian Hermiti bằng cách thêm chuyển đổi liên hợp, bạn nhận được 0 cho thuật ngữ này và do đó bạn không cần phải có bất kỳ hệ số tưởng tượng nào .