Máy tính lượng tử có thể dễ dàng xác định thời gian trộn của nhóm khối Rubik không?

Các quan chức trong các giải đấu khối Rubik đã sử dụng hai cách khác nhau để tranh giành một khối. Hiện nay, họ phá vỡ một khối ngoài và lắp ráp lại các cubies theo một thứ tự ngẫu nhiên $\pi\in G$ của nhóm khối Rubik $G$ . Trước đây, họ sẽ áp dụng một chuỗi ngẫu nhiên $g$ của Singmaster di chuyển $\langle U,D, F, B, L, R\rangle$ .

$t$$g$$\Vert G\Vert=43,252,003,274,489,856,000$ $20$$t$$\langle U,D, F, B, L, R\rangle$

Máy tính lượng tử có bất kỳ lợi thế nào để xác định thời gian trộn của nhóm khối Rubik không?$t$

Tôi nghĩ rằng chúng ta có thể có một số chuỗi di chuyển thông minh của Hadamard để tạo ra một thanh ghi như một sự chồng chất thống nhất lên tất cả các cấu hình như vậy; do đó, áp dụng bất kỳ chuỗi Singmaster nào sẽ chuyển sang không thay đổi . ‖ G ‖ | Một ⟩ | Một $\vert A \rangle$$\Vert G\Vert$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$

Nếu chúng ta có một đoán như những gì thời gian trộn là, chúng ta cũng có thể tạo ra một đăng ký như một sự chồng chất thống nhất của tất cả các từ Singmaster chiều dài , và có điều kiện áp dụng mỗi từ đó sang trạng thái giải quyết , để hy vọng có được trạng thái sao cho, nếu chúng ta đo , thì mỗi cấu hình của đều có thể được đo bằng nhau. Nếu , thì chúng ta sẽ không đi dọc theo biểu đồ Cayley của đủ lâu và nếu chúng ta đo$t'$$t$$\vert B \rangle$$t'$$\vert A'\rangle$$\vert B\rangle \vert A\rangle$$\vert A \rangle$$\Vert G \Vert$$t'\lt t$$G$$\vert A \rangle$, các cấu hình "gần" hơn với trạng thái đã giải quyết sẽ có nhiều khả năng hơn. Một số biến đổi giống như Fourier thông minh trên có thể đo được mức độ phân phối đồng đều .$\vert B \rangle$$\vert A \rangle$

Đối với tôi cảm giác này giống như một cái gì đó mà một máy tính lượng tử có thể giỏi. Ví dụ: nếu không được trộn đều bởi tất cả các từ trong , thì một số cấu hình có nhiều khả năng hơn các từ khác, ví dụ là "hằng số" hơn; trong khi nếu đã được trộn lẫn hoàn toàn bởi tất cả các lần đi bộ thì sẽ "cân bằng" hơn. Nhưng sự hiểu biết của tôi về cả thuật toán lượng tử và chuỗi Markov không đủ mạnh để đi rất xa.$\vert A \rangle$$\vert B\rangle$$\vert A \rangle$$\vert A \rangle$ $\vert A \rangle$

BIÊN TẬP

Đối chiếu câu hỏi này với vấn đề xác minh nút lượng tử.

Trong xác minh nút lượng tử, một thương gia được trao một đồng tiền lượng tử dưới dạng trạng thái của tất cả các nút có một bất biến cụ thể. Để xác minh đồng tiền lượng tử, cô ấy đã áp dụng chuỗi Markov để chuyển đổi sang chính nó (nếu đó là một đồng tiền hợp lệ.) Cô ấy phải áp dụng chuỗi Markov này và đo lường kết quả ít nhất là lần, nhưng nếu không thì cô ấy đã không có cách nào tự mình xây dựng (vì sợ rằng cô ấy có thể giả mạo đồng xu.) Vì vậy, nếu cô ấy được trao một đồng tiền hợp lệ, cô ấy đã đưa ra một trạng thái mà cô ấy không thể tự sản xuất , cùng với chuỗi Markov như một ma trận , và cô ấy có lẽ biết thời gian trộn$\vert K \rangle$$M$$\vert K \rangle$$t$$\vert K \rangle$$M$$t$; cô ấy yêu cầu kiểm tra xem có hợp lệ không.$\vert K \rangle$

Trong câu hỏi hiện tại, có thể khá dễ dàng để tạo của tất cả các hoán vị khối Rubik. Mạch lượng tử tương ứng với chuỗi Markov, được gọi là , của các bước di chuyển của Singmaster, có lẽ cũng khá dễ dàng để xây dựng. Tuy nhiên, thời gian trộn là không xác định, và là một điều cần xác định.$\vert RC \rangle$$S$$t$

Đó là một câu hỏi thú vị tốt hơn hầu hết "có thuật toán lượng tử cho x không?" câu hỏi Tôi không biết về một thuật toán lượng tử hiện có. Hãy để tôi mô tả những gì tôi nghĩ sẽ là một nỗ lực đầu tiên điển hình, và tại sao điều đó thất bại. Cuối cùng, tôi sẽ mô tả một vài điều có thể dẫn đến một số cải tiến.

Lần thử đầu tiên vào một thuật toán

Giả sử tôi muốn kiểm tra thời gian trộn cụ thể . Tôi sẽ tạo một thanh ghi, R C để chứa đủ không gian làm việc để chứa bất kỳ cấu hình nào có thể có của khối Rubik. Trạng thái ban đầu của điều này là trạng thái sản phẩm tương ứng với trạng thái bắt đầu của khối.$t$$RC$

Sau đó, tôi sẽ làm cho Ancilla đăng ký, Một 1 tới Một t . Mỗi trong số này có cùng kích thước với số lần di chuyển Singmaster có thể và được chuẩn bị như một sự chồng chất thống nhất trên tất cả các yếu tố cơ bản có thể. Sau đó, đối với mỗi i = 1 , ... t , chúng tôi áp dụng kiểm soát đồng nhất từ A i để R C nơi đăng ký Một i quy định cụ thể mà Singmaster di chuyển được áp dụng trên R C .$t$$A_1$$A_t$$i=1,\ldots t$$A_i$$RC$$A_i$$RC$

Sau tất cả điều này, nếu chúng ta chỉ nhìn vào , nó sẽ ở trạng thái trộn tối đa nếu việc trộn xảy ra như mong muốn. Vấn đề là làm thế nào để kiểm tra xem đầu ra này có phải là trạng thái hỗn hợp tối đa hay không. Có những kỹ thuật hữu ích như cái này , nhưng chúng tôi yêu cầu độ chính xác nào (nghĩa là có bao nhiêu lần lặp lại?). Chúng tôi sẽ cần về | Một | T để chắc chắn, tôi nghĩ.$RC$$|A|^t$

Trên thực tế, cách làm việc này cũng tệ như thực hiện theo cách cổ điển: bạn có thể thay thế trạng thái ban đầu của mỗi bằng I / 2 | Một tôi | và nó sẽ không thay đổi kết quả. Nhưng điều này thực sự giống như thực hiện một lựa chọn ngẫu nhiên mỗi lần và chạy nhiều lần, kiểm tra phân phối đầu ra chính xác.$A_i$$\mathbb{I}/2^{|A_i|}$

Những cải tiến có thể

• Chạy như tôi đã mô tả, mật độ đầu ra ma trận (trên R C ) phải đường chéo. Điều đó có nghĩa là sự chồng chất đồng nhất | u ⟩ khắp tiểu bang cơ sở là một trạng thái riêng khi và chỉ khi hệ thống được tối đa trộn. Tôi sẽ làm nếu người ta có thể kết hợp quan sát này với một số loại khuếch đại biên độ để tăng tốc độ nhẹ. Lưu ý rằng ρ k | u ⟩ xây dựng một sự khác biệt rất nhanh chóng từ | u ⟩ nếu nhà nước không phải là một eigenvector.$\rho$$RC$$|u\rangle$$\rho^k|u\rangle$$|u\rangle$

• Bên cạnh đó, có lẽ bạn cần phải làm một cái gì đó thông minh hơn với các thanh ghi ancilla. Có một số hy vọng rằng điều này có thể khả thi vì có khá nhiều cấu trúc nhóm được xây dựng trong khối Rubik. Một điều mà bạn có thể thử là để xem liệu bạn có thể thay thế tất cả các thanh ghi Ancilla với một thanh ghi duy nhất, áp dụng cổng Hadmard trên mỗi qubit của thanh ghi ở giữa mỗi vòng kiểm soát-unitaries. Có thể là tất cả những điều này giúp bạn tiết kiệm hiệu quả về số lượng qubit so với đề xuất ban đầu của tôi. Nó thậm chí có thể không làm điều đó.$t$

Cho dù một trong hai hoạt động trực tiếp, tôi không biết. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng các nguyên tắc chính là tìm một số cấu trúc nhóm hữu ích và tìm cách áp dụng khuếch đại biên độ.

Bạn có thể thấy hữu ích khi đọc về các thiết kế đơn nhất . Đây chắc chắn là một vấn đề khác biệt với những gì chúng ta đang nói ở đây, nhưng một số công cụ kỹ thuật có thể hữu ích. Nói một cách đơn giản, ý tưởng là một tập hợp các đơn vị là một t -design nếu ứng dụng ngẫu nhiên của các đơn vị này cho phép người ta mô phỏng một đơn vị thực sự ngẫu nhiên (rút ra từ thước đo Haar) trên các hàm đầu ra f , khi được mở rộng bằng Taylor loạt, là chính xác đến độ t . Kết nối gần đúng ở đây là nếu bạn dành unitaries đại diện cho một chuỗi các t Singmaster di chuyển như { U $\{U\}$$t$$f$$t$$t$$\{U\}$, Nó sẽ là đủ nếu thiết lập này là một thiết kế 2 (nếu bạn nhận được đúng, bạn đã hoàn tất).$\text{Tr}(\rho^2)$

(CW để tránh đại diện từ tự trả lời)

Có thể có một cách tương tác để hai bên thu hẹp giá trị của , theo dõi câu trả lời của @ DaftWullie và nhận xét của @Steven Sagona. Chủ nghĩa hình thức của tôi rất kém, nhưng tôi hy vọng ý tưởng được thông qua ...$t$

Ví dụ, gọi hai bên Alice và Bob. Các bên phải hợp tác, và hành xử trung thực theo giao thức.

Alice biết cách chuẩn bị hai trạng thái, và | Một 1 ⟩ . Đây, | Một 0 ⟩ là chồng thống nhất kết hợp khối tất cả của Rubik, và | Một 1 ⟩ là một trạng thái khỉ khác với cùng một số qubit (như trạng thái tương ứng với một giải quyết khối Rubik, hoặc một sự chồng chất thống nhất trên một số phân nhóm lớn của G ). Bob biết cách áp dụng ma trận M vào trạng thái lượng tử, trong đó $\vert A_0 \rangle$$\vert A_1 \rangle$$\vert A_0\rangle$$\vert A_1\rangle$$G$$M$$M$ tương ứng với một bước duy nhất của tất cả các bước di chuyển của Singmaster (với ancillas khi thích hợp.)

Alice và Bob muốn thể hiện rằng thời gian trộn của nhóm khối Rubik dưới Singmaster di chuyển tối đa là r . Alice và Bob lặp lại những điều sau đây s lần.$t$$r$$s$

1. Alice lật một đồng xu và cung cấp | Một i ⟩ cho Bob$i\in\{0,1\}$$\vert A_i \rangle$
2. Bob lặp lại lần để áp dụng M cho | Một i ⟩ , và các biện pháp chiếu mỗi lần.$r$$M$$\vert A_i \rangle$
3. Nếu máy chiếu là cho mỗi lần lặp r , thì Bob nói rằng i = 0 . Nếu máy chiếu không phải là 1 trong ít nhất một lần lặp r , thì Bob nói rằng Alice là i = 1 .$1$$r$$i=0$$1$$r$$i=1$

Nếu , sau đó mỗi Bob r lặp ở bước 2 không thay đổi | Một 0 ⟩ - bởi vì theo định nghĩa | Một 0 ⟩ là một trạng thái riêng của ma trận của Bob, và ma trận của Bob chỉ permutes các bang với nhau. Nếu i = 1 , thì trạng thái khỉ | Một 1 ⟩ là không một trạng thái riêng của máy chiếu của Bob, và các cơ hội mà một 1 sẽ không được đo phát triển nhanh chóng với r . $i=0$$r$$\vert A_0\rangle$$\vert A_0 \rangle$$i=1$$\vert A_1 \rangle$$1$$r$

Do đó, nếu Bob đã dự đoán chính xác cho các lần lặp lại, xác suất thành công tăng theo cấp số nhân với s và Bob của r đủ lớn để phân biệt trạng thái khối Rubik hợp lệ với trạng thái khỉ.$i$$s$$s$$r$

Tôi không biết cách nhau bao xa có được từ | Một 0 ⟩ . Tôi cũng không biết nếu tương tác có thể được gỡ bỏ.$\vert A_1\rangle$$\vert A_0\rangle$

Ban đầu hãy xem xét một số thanh ghi và toán tử.

1. Sổ đăng ký $\vert A\rangle$ , mã hóa sự chồng chất của các quốc gia trong khối lập phương (ví dụ như một hoán vị của khối $G$ );
2. Toán tử $U$ , hoạt động trên $\vert A\rangle$ để lập bản đồ ket tất cả-0 của $\vert 00\cdots 0\rangle$ với chồng thống nhất trên toàn $\Vert G\Vert$ tiểu bang;
3. Sổ đăng ký $\vert B\rangle=\vert b_1\rangle\vert b_2\rangle\cdots\vert b_k\rangle$ , mã hóa sự chồng chất của một bộ Singmaster di chuyển được áp dụng cho một vị trí nhất định (ví dụ, sự chồng chất của những lời của Singmaster di chuyển chiều dài $k$ );
4. Các toán tử $V$ và $V^{-1}$ , hoạt động trên $\vert B\rangle$ để lập bản đồ ket tất cả-0 của $\vert 00\cdots 0\rangle$ với chồng thống nhất của tất cả $18^k$ lời của Singmaster di chuyển chiều dài $k$ (và ngược lại); và
5. Toán tử (được điều khiển) $W$ , áp dụng Singmaster di chuyển $b$ đến một vị trí khối đã cho.

Nếu $\vert A\rangle$ là ở sự chồng thống nhất trên tất cả các yếu tố của $G$ , sau đó $\vert A\rangle$ đang ở trong một trạng thái riêng của $W$ , và các ứng dụng lặp đi lặp lại của $W$ sẽ không bị trở lại ảnh hưởng $\vert B\rangle$ .

Đó là, $V^{-1}$ nên trả về $\vert B\rangle$ trong mạch trên cho tất cả-zero ket $\vert 00\cdots 0\rangle$ .

Tuy nhiên , như được lưu ý bởi @DaftWullie, nếu $\vert u\rangle$ là không trong một trạng thái riêng, sau đó một sự khác biệt giữa $\vert u \rangle$ và $\rho^k \vert u\rangle$ xây dựng lên rất nhanh - Tôi tin rằng một tốc độ mà tại đó sự khác biệt này được xây dựng lên phụ thuộc chính xác vào các đặc tính pha trộn của các nhà điều hành quan tâm.

Vì vậy, nếu chúng ta có thể chuẩn bị một trạng thái $\vert A\rangle$ được nhiễu loạn từ sự phân bố đồng đều, sao cho $\vert A\rangle$ không phải là một trạng thái riêng, các ứng dụng sau đó lặp đi lặp lại của $W$ sẽ nhanh chóng xây dựng một sự khác biệt, và $V^{-1}\vert B\rangle$ thể không phải là tất cả-zero ket.

Nếu chúng ta có hàm $F$ hoạt động trên $\vert A\rangle$ và một qubit trả lời $\vert C\rangle$ xác định, ví dụ, cho dù một số băm $\{0,1\}^{\log_2 \Vert G\Vert}\mapsto (0,1)$ vị trí khối Rubik là ít hơn một số ngưỡng $\delta$ , và chúng tôi sử dụng này $F$ để kiểm soát vòng xoay $\vert A\rangle$ , sau đó tôi tin rằng $V^{-1}\vert B\rangle$$\delta$

$\vert B\rangle$$\vert 00000\cdots000101101\rangle$$1$$\delta$