Làm thế nào tôi có thể tính toán sản phẩm bên trong của hai thanh ghi lượng tử có kích thước khác nhau?

9

Tôi tìm thấy một thuật toán có thể tính khoảng cách của hai trạng thái lượng tử. Nó dựa trên một chương trình con được gọi là thử nghiệm hoán đổi (một công cụ ước tính độ trung thực hoặc sản phẩm bên trong của hai trạng thái, btw Tôi không hiểu ý nghĩa của độ trung thực).

Câu hỏi của tôi là về sản phẩm bên trong. Làm thế nào tôi có thể tính được sản phẩm bên trong của hai thanh ghi lượng tử có chứa số lượng qubit khác nhau?

Mô tả của thuật toán được tìm thấy trong bài báo này . Dựa trên bước thứ 3 xuất hiện trên hình ảnh, tôi muốn chứng minh điều đó bằng cách đưa ra một ví dụ.

Hãy: $|a| = 5$ , và Tất cả những gì chúng tôi muốn là độ trung thực của hai trạng thái sau và và để tính khoảng cách giữa và được đưa ra là: vì vậy $|b| = 5$ $Z = 50$

| a ⟩ = \frac{3}{5} | 0 ⟩ + \frac{4}{5} | 1 ⟩

$|a\rangle = \frac{3}{5}|0\rangle + \frac{4}{5}|1\rangle$

| b ⟩ = \frac{4}{5} | 0 ⟩ + \frac{3}{5} | 1 ⟩

$|b\rangle = \frac{4}{5}|0\rangle + \frac{3}{5}|1\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

| a ⟩

$|a\rangle$

| b ⟩

$|b\rangle$

{| a - b |}^{2} = 2 Z | ⟨ ϕ | ψ ⟩ |^{2}

${|a-b|}^2 = 2Z|\langle\phi|\psi\rangle|^2$

| ψ ⟩ = \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 00 ⟩ + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 01 ⟩ + + \frac{4}{5 \sqrt{2}} | 10 ⟩ + + \frac{3}{5 \sqrt{2}} | 11 ⟩

$|\psi\rangle = \frac{3}{5\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{4}{5\sqrt{2}}|01\rangle+ + \frac{4}{5\sqrt{2}}|10\rangle + + \frac{3}{5\sqrt{2}}|11\rangle$

| ϕ ⟩ = \frac{5}{\sqrt{50}} (| 0 ⟩ + | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{5}{\sqrt{50}} (|0\rangle + |1\rangle)$ thì làm thế nào để tính toán

⟨ ϕ | ψ ⟩ = ? ?

$\langle\phi|\psi\rangle = ??$

— Aman
nguồn

1

Trong một vài từ, bạn không thể. Sản phẩm bên trong được xác định cho 2 vectơ có cùng không gian (nghĩa là 2 vectơ có cùng chiều) trong khi vectơ của bạn (hoặc trạng thái lượng tử) không có cùng kích thước.

— Nensonee

6

Tôi đoán bạn đang xem các phương trình (130) và (131)? Vì vậy, ở đây, bạn có và . Khi nói tính toán , ý nghĩa thực sự của nó là đệm mọi thứ bằng ma trận danh tính để biến chúng thành tất cả cùng cỡ. Do đó, phép tính trở thành trong đó và là các yếu tố của véc tơ của bạn $|\psi\rangle=(|0\rangle|a\rangle+|1\rangle|b\rangle)/\sqrt{2}$ $|\phi\rangle=|a| |0\rangle+|b| |1\rangle$ $\langle\phi|\psi\rangle$

(⟨ ϕ | \otimes I) | ψ ⟩,

$(\langle\phi|\otimes\mathbb{I})|\psi\rangle,$

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (\begin{array}{cccc} | a | & 0 & | b | & 0 \\ 0 & | a | & 0 & | b | \end{array}) \cdot (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ b_{0} \\ b_{1} \end{matrix}),

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}\left(\begin{array}{cccc} |a| & 0 & |b| & 0 \\ 0 & |a| & 0 & |b| \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} a_0 \\ a_1 \\ b_0 \\ b_1 \end{array}\right),$

a_{0}

$a_0$

a_{1}

$a_1$

| a ⟩

$|a\rangle$ . Nếu bạn thực hiện việc này thông qua, bạn sẽ nhận được Tôi không biết dấu hiệu tiêu cực xuất phát từ phương trình nào (133).

\frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ + | b | | b ⟩) .

$\frac{1}{\sqrt{2Z}}(|a| |a\rangle+|b| |b\rangle).$

— DaftWullie
nguồn

một lần nữa thưa ông, ý ông là gì? Làm thế nào tôi có thể giải thích điều này ở dạng mạch lượng tử ??

— Aman

@Aman Ý tôi là khi hai toán tử (hoặc trạng thái, trong trường hợp này) được xác định cho các nhóm qubit khác nhau, thì cách bạn tạo chúng có cùng kích thước là bạn chèn một sản phẩm tenxơ với ma trận nhận dạng 2x2 cho mỗi qubit không trong tập đã cho.

— DaftWullie

@Aman: Bạn chỉ có thể trao đổi các thanh ghi qubit. Điều gì đang xảy ra là bạn trao đổi đăng ký đầu tiên với qubit đầu tiên của đăng ký thứ hai. Điều này đặt ra câu hỏi phải làm gì với qubit còn lại của thanh ghi thứ hai. Bạn áp dụng thao tác nhận dạng cho nó, điều này giải thích danh tính ở trên đến từ đâu.

— Peter Shor

3

Trên thực tế, nên có một điểm trừ. Có một sai lầm trong bài báo. Wittek sử dụng một điểm trừ trong cuốn sách (đắt tiền) của mình .

| ψ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (| 0, a ⟩ + | 1, b ⟩)

$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

| ϕ ⟩ = \frac{1}{\sqrt{Z}} (| a | | 0 ⟩ - | b | | 1 ⟩)

$|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{Z}} (|a||0\rangle - |b||1\rangle)$

⟨ φ | ψ ⟩ = = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| một | ⟨ 0 | - | b | ⟨ 1 |) (| 0, một ⟩ + | 1, b ⟩)

$\langle \phi |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a|\langle 0| - |b|\langle 1|) (|0,a\rangle + |1,b\rangle)$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | ⟨ 0 | 0 ⟩ | a ⟩ - | b | ⟨ 1 | 0 ⟩ | a ⟩ + | a | ⟨ 0 | 1 ⟩ | b ⟩ - | b | ⟨ 1 | 1 ⟩ | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}}( |a|\langle 0|0\rangle|a\rangle - |b|\langle 1|0 \rangle|a\rangle + |a|\langle 0|1 \rangle|b\rangle - |b|\langle 1| 1 \rangle |b\rangle )$

= \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - 0 + 0 - | b | | b ⟩) = \frac{1}{\sqrt{2 Z}} (| a | | a ⟩ - | b | | b ⟩)

$= \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - 0 + 0 - |b| |b\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2Z}} (|a| |a\rangle - |b| |b\rangle)$

$|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$

— cnada
nguồn

Xin cảm ơn ngài, nhưng trong | chúng ta có 3 qubit hay 2 qubit không?

— Aman

Bạn có số lượng qubit cần thiết cho a và b (giả sử N) và bạn thêm một số khác để N + 1.

— cnada