Thuật toán lượng tử cho phép tích

Tôi đã xem xét các ứng dụng của Máy tính lượng tử cho máy học và gặp phải bản in trước từ năm 2003. Thuật toán tương quan lượng tử và thuật toán tương quan là không thể thực hiện được . Bài báo dường như không được xuất bản trong bất kỳ tạp chí nào, nhưng nó đã được trích dẫn vài chục lần.

Tác giả bài báo đưa ra trường hợp không thể tính tích chập rời rạc trên các trạng thái lượng tử. Theo trực giác, điều này có vẻ không đúng với tôi, vì tôi biết chúng ta có thể thực hiện phép nhân ma trận lượng tử và tôi biết rằng tích chập rời rạc có thể được đóng khung đơn giản là phép nhân với ma trận Toeplitz (hoặc tuần hoàn).

Mấu chốt của lập luận của ông dường như là không có thành phần có thể thực hiện được của các toán tử đơn vị cho sản phẩm nguyên tố (Hadamard) của hai vectơ.

Ngắt kết nối của tôi ở đâu? Có bất kỳ lý do nào chúng ta nói chung không thể xây dựng một ma trận Toeplitz để tích chập rời rạc trong một máy tính lượng tử?

Hoặc đơn giản là bài viết không chính xác? Tôi đã làm việc thông qua mâu thuẫn mà tác giả trình bày trong bằng chứng Bổ đề 14 của mình, và nó dường như có ý nghĩa với tôi.

Bạn thực sự có thể thực hiện tích chập trên máy tính lượng tử (và nhanh hơn theo cấp số nhân đối với vấn đề đó), nếu tín hiệu đầu vào của bạn có cấu trúc nhất định. Nhưng đối với đầu vào chung, điều này có vẻ thách thức và thậm chí có thể là không thể, đó là điều mà bài báo dường như tranh luận.

Xem xét cách bạn sẽ tính tích chập của hai tín hiệu rời rạc và g một cách cổ điển. Bạn có thể thực hiện biến đổi Fourier của cả hai tín hiệu, thực hiện phép nhân theo điểm của các vectơ kết quả và sau đó thực hiện biến đổi Fourier ngược:$f$$g$

$$\mathscr{F}^{-1} (\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g))$$

Lưu ý rằng biến đổi Fourier là một hoạt động rất rẻ trên máy tính lượng tử. Vì vậy, điều này có vẻ tuyệt vời. Vấn đề là phép nhân điểm khôn ngoan của hai vectơ không quá dễ dàng. Hãy xem những yếu tố nào quyết định điều đó.

Giả sử chúng ta may mắn và phổ Fourier của hóa ra là phẳng: F = F ( f ) = $f$

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1}{|i\rangle} = \sum_{i=1}^{N-1}F(i)$$

Trong trường hợp đó, máy tính lượng tử của bạn có thể thực hiện thao tác ma trận đường chéo cung cấp cho bạn phép nhân điểm khôn ngoan:

$$\mathscr{F}(f) . \mathscr{F}(g) = F.G = \left(\begin{array}{cccc} F(0) & & & \\ & F(1) & & \\ & & . & \\ & & & F(N-1) \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} G(0) \\ G(1) \\ . \\ G(N-1) \end{array}\right)$$

Tuy nhiên, các thuật toán lượng tử tìm thấy phép nhân điểm khôn ngoan của hai vectơ có thể là không thể về mặt vật lý trong trường hợp tổng quát. Điều này là do hoạt động này là không đơn nhất nói chung. Một ví dụ đơn giản, giả sử rằng biến đổi Fourier của là một hàm nhọn, với các số không ở hầu hết các vị trí:$f$

Các nhân point-khôn ngoan của tiểu bang này với tiểu bang khác là không thể đảo ngược (vì số không), và do đó không đơn nhất.

$$F = \mathscr{F}(f) = \frac{1}{2}(|0\rangle + |2\rangle + |5\rangle + |7\rangle)$$

Trước đây đã có công việc để khám phá các chức năng dẫn đến phổ Fourier phẳng hoặc gần phẳng, và do đó rất dễ bị phá hủy:

https://arxiv.org/abs/0811.3208

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0211140

Tôi rất nghi ngờ về kết quả. Nếu bạn nhìn vào Định lý 16, nó tuyên bố rằng không có thao tác nào đạt được bản đồ

$$\sum_{ij}\alpha_i\beta_j|ij\rangle\mapsto \sum_i\alpha_i\beta_i|i\rangle$$ $$P=\sum_{i}|i\rangle\langle ii|.$$ $$|ii\rangle\mapsto|i0\rangle,$$