Làm thế nào để xác suất của mỗi trạng thái thay đổi sau khi chuyển đổi một cổng lượng tử?

Cổng lượng tử được biểu diễn bằng ma trận, đại diện cho các phép biến đổi được áp dụng cho các qubit (trạng thái).

Giả sử chúng ta có một số cổng lượng tử hoạt động trên qubit.$2$

Cổng lượng tử ảnh hưởng như thế nào (không nhất thiết phải thay đổi nó) kết quả đo trạng thái của các qubit (vì kết quả đo bị ảnh hưởng rất lớn bởi xác suất của từng trạng thái có thể)? Cụ thể hơn, có thể biết trước, xác suất của mỗi trạng thái thay đổi như thế nào do cổng lượng tử?

Trường hợp I: 2 qubit không bị vướng.

Bạn có thể viết trạng thái của hai qubit (giả sử và ) là và trong đó .B | ψ Một ⟩ = một | 0 ⟩ + b | 1 ⟩ | ψ B ⟩ = c | 0 ⟩ + d | 1 ⟩ một , b , c , d ∈ $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$

Các qubit riêng lẻ nằm trong không gian vectơ phức hai chiều (trên trường ). Nhưng trạng thái của hệ thống là một vectơ (hoặc điểm ) nằm trong không gian vectơ phức tạp bốn chiều (trên trường ).$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

Trạng thái của hệ thống có thể được viết như một sản phẩm tensor tức là .một c | 00 ⟩ + một d | 01 ⟩ + b c | $|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

Đương nhiên, vì vectơ trạng thái phải được chuẩn hóa. Lý do là tại sao bình phương biên độ của trạng thái cơ sở đưa ra xác suất của trạng thái cơ sở đó xảy ra khi được đo trong cơ sở tương ứng nằm trong quy luật cơ học lượng tử của Sinh (một số nhà vật lý coi đó là một định đề cơ bản của cơ học lượng tử) . Bây giờ, xác suất xảy ra khi đo qubit đầu tiên là . Tương tự, xác suất của xảy ra khi đo qubit đầu tiên là .| 0 ⟩ | một c | 2 + | một d | 2 | 1 ⟩ | b c | 2 + | b d | $|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

Bây giờ, điều gì xảy ra nếu chúng ta áp dụng một cổng lượng tử mà không thực hiện bất kỳ phép đo nào trên trạng thái trước đó của hệ thống? Cổng lượng tử là cổng đơn vị. Hành động của họ có thể được viết dưới dạng hành động của một toán tử đơn vị trên trạng thái ban đầu của hệ thống, ví dụ để tạo trạng thái mới (trong đó ). Độ lớn của vectơ trạng thái mới này: một lần nữa tương đương với , vì cổng được áp dụng là đơn nhất . Khi đo qubit đầu tiên, xác suất xảy ra làmột c | 00 ⟩ + một d | 01 ⟩ + b c | 10 ⟩ + b d | 11 ⟩ Một | 00 ⟩ + B | 01 ⟩ + C | 10 ⟩ + D | 11 ⟩ Một , B , C , D ∈ C | Một | 2 + | B $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$ 1 | 0 ⟩ | Một | 2 + | B | $|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$$|A|^2+|B|^2$và tương tự bạn có thể tìm thấy nó cho xảy ra .$|1\rangle$

Nhưng nếu chúng tôi thực hiện một phép đo, trước hành động của cổng đơn vị thì kết quả sẽ khác. Ví dụ: bạn đã đo được qubit đầu tiên và hóa ra là ở trạng thái trạng thái trung gian của hệ thống sẽ bị thu gọn thành (theo cách giải thích của Copenhagen). Vì vậy, bạn có thể hiểu rằng áp dụng cùng một cổng lượng tử trên trạng thái này sẽ mang lại một kết quả cuối cùng khác.$|0\rangle$$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$

Trường hợp II: 2 qubit bị vướng.

Trong trường hợp trạng thái của hệ thống giống như , bạn không thể biểu diễn nó như một sản phẩm tenor của các trạng thái của hai qubit riêng lẻ (thử!). Có rất nhiều ví dụ như vậy. Các qubit được cho là vướng vào trường hợp như vậy.$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

Dù sao, logic cơ bản vẫn giữ nguyên. Xác suất của xảy ra khi đo qubit đầu tiên là và xảy ra là quá. Tương tự như vậy, bạn có thể tìm ra các xác suất để đo qubit thứ hai.| 1 / $|0\rangle$$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$$\frac{1}{2}$

Một lần nữa, nếu bạn áp dụng một cổng lượng tử đơn nhất ở trạng thái này, bạn sẽ kết thúc với một cái gì đó như , như trước đây. Tôi hy vọng bây giờ bạn có thể tự mình tìm ra xác suất của các khả năng khác nhau khi các qubit thứ nhất và thứ hai được đo.$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$

Lưu ý: Thông thường các trạng thái cơ bản của sytem 2 qubit được coi là bốn vectơ cột như , , v.v. bằng cách ánh xạ bốn vectơ cơ sở sang cơ sở tiêu chuẩn của . Và, những biến đổi unita có thể được viết như ma trận đáp ứng tài sản .$|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$$UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$

Vâng, nó là có thể. Các cổng lượng tử được thiết kế sao cho các trạng thái đầu vào đã cho được chuyển đổi sang trạng thái đầu ra được xác định rõ ràng với xác suất tính toán được. Phép biến đổi không tạo thành phép đo theo nghĩa cơ học lượng tử, điều này có nghĩa là chúng ta có thể có các trạng thái vướng víu trong đầu ra của một cổng lượng tử và sử dụng các trạng thái này để tính toán thêm.

Cũng lưu ý rằng các trạng thái đầu vào không còn truy cập được sau khi được chuyển đổi bằng cổng lượng tử. Nếu bạn muốn lấy lại chúng, bạn phải áp dụng một cổng ngược.

Cổng lượng tử ảnh hưởng như thế nào (không nhất thiết phải thay đổi nó) kết quả đo trạng thái của các qubit (vì kết quả đo bị ảnh hưởng rất lớn bởi xác suất của từng trạng thái có thể)? Cụ thể hơn, có thể biết trước, xác suất của mỗi trạng thái thay đổi như thế nào do cổng lượng tử?

Hãy thử tiếp cận điều này với một ví dụ và một số hình học. Hãy xem xét một qubit duy nhất, có không gian Hilbert là , nghĩa là không gian Hilbert phức tạp hai chiều so với C (đối với những người kỹ thuật hơn, không gian Hilbert thực sự là C P 1 ). Hóa ra C P 1 ≅ S 2 , hình cầu đơn vị, còn được gọi là hình cầu Bloch . Điều này chuyển thành thực tế là tất cả các trạng thái của một qubit có thể được biểu diễn ( duy nhất ) trên quả cầu Bloch.$\mathbb{C}^2$$\mathbb{C}$$\mathbb{C}P^1$$\mathbb{C}P^1 \cong S^2$

Nguồn: Wikipedia

Trạng thái của một qubit có thể được biểu diễn trên quả cầu Bloch là , nơi0≤q≤πvà0≤φ<2π. Đây,| 0⟩=[10]và| 1⟩=[01]là hai quốc gia cơ sở (đại diện trong hình ở phía bắc và cực nam tương ứng). Vì vậy, các trạng thái của qubit không có gì ngoài các vectơ cột, được xác định bằng các điểm (duy nhất) trên hình cầu. ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$$0 \leq \theta \leq \pi$$0 \leq \phi < 2 \pi$$|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$$|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$

Cổng lượng tử là gì? Đây là những nhà khai thác đơn nhất, st, U U † = U † U = I . Gates trên một qubit duy nhất là các yếu tố của S U ( 2 ) . Hãy xem xét một cổng đơn giản như Y (viết tắt của ma trận Pauli σ y : = Y = [ 0 - i i 0 ] ).$U$$U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$$SU(2)$$Y$$\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$

Làm thế nào để cổng này hoạt động trên một qubit và ảnh hưởng đến kết quả đo lường?

Giả sử bạn bắt đầu với một qubit trong tiểu bang , tức là ở cực bắc trên mặt cầu Bloch. Bạn áp dụng một đơn nhất có dạng U = e - i γ Y nơi γ ∈ R . Sử dụng tính chất của ma trận Pauli, chúng tôi nhận U = e - i γ Y = c o s ( γ ) Tôi - i s i n ( γ ) Y . Các hoạt động của toán tử này là để xoay nhà nước bởi một góc 2 $|0\rangle$$U = e^{-i \gamma Y}$$\gamma \in \mathbb{R}$$U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$$2 \gamma$dọc theo trục y và do đó nếu chúng ta chọn , qubit | 0 ⟩ → U | 0 ⟩ = | 1 ⟩ . Điều đó có nghĩa là, cho chúng ta biết những gì chúng ta đang áp dụng cho trạng thái của chúng ta, chúng ta hoàn toàn biết cách mà trạng thái ban đầu của chúng ta sẽ biến đổi và do đó chúng ta biết xác suất đo lường sẽ thay đổi như thế nào.$\gamma = \pi/2$$|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$

Ví dụ: nếu chúng ta thực hiện phép đo trong cơ sở, ban đầu, người ta sẽ có được nhà nước | 0 ⟩ với xác suất 1; Sau khi áp dụng đơn vị, người ta sẽ có được nhà nước | 1 ⟩ với xác suất 1.$\{|0\rangle, |1\rangle\}$$|0\rangle$$|1\rangle$

$\Pi$$\rho$$U$$\Pi$$p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$$p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$

Tôi chỉ muốn nhấn mạnh rằng không thể biết xác suất của kết quả sau cổng chỉ từ xác suất của nó trước cổng. Bạn cần xem xét biên độ xác suất (trạng thái lượng tử)!

Hãy để tôi đưa ra một nhận xét khác: Bạn đang nói về hai qubit, vì vậy trạng thái sau cổng có thể bị vướng mắc. Trong trường hợp này, sẽ không thể có các phân phối xác suất "riêng lẻ" cho mỗi qubit cho tất cả các phép đo theo nghĩa phân phối xác suất chung sẽ không ảnh hưởng đến hai phân phối biên.