Ý nghĩa của các hoạt động Clifford từ quan điểm sửa lỗi lượng tử

Trong các tài liệu về QECC, cổng Clifford chiếm một vị thế cao.

Hãy xem xét các ví dụ sau đây chứng thực điều này:

• Khi bạn nghiên cứu mã ổn định, bạn sẽ nghiên cứu riêng cách thực hiện các cổng Clifford được mã hóa (ngay cả khi các mã này không được áp dụng theo chiều ngang). Tất cả các tài liệu giới thiệu về QECC nhấn mạnh vào việc thực hiện các hoạt động Clifford được mã hóa trên các mã lượng tử. Và mặt khác, nhấn mạnh vào cổng Clifford (nghĩa là ngay cả khi không thực hiện cổng Clifford được mã hóa theo mã lượng tử).

• Toàn bộ chủ đề của chưng cất trạng thái ma thuật * dựa trên việc phân loại các hoạt động nhất định (bao gồm hiệu suất của cổng Clifford) là các hoạt động chi phí thấp, trong khi, ví dụ, thực hiện cổng toffoli hoặc cổng , càng cao hoạt động -cost.$\pi/8$

Câu trả lời có thể:

1. Điều này đã được chứng minh ở những nơi nhất định trong tài liệu, ví dụ như luận án tiến sĩ của Gottesman và nhiều bài báo của anh ta, và cả trong https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025 . Lý do được đưa ra ở những nơi này là có thể thực hiện một số cổng Clifford theo chiều ngang (một hoạt động chống lỗi nguyên mẫu) trên các mã ổn định nhất định. Mặt khác, không dễ để tìm thấy một ứng dụng ngang của các cổng không phải Clifford trên các mã lượng tử. Tôi đã không tự mình xác minh điều này, nhưng tôi chỉ đi theo những phát biểu mà Gottesman đưa ra trong Tiến sĩ. Luận án và một số bài viết đánh giá.

Không thể thực hiện một cổng được mã hóa theo chiều ngang trên mã lượng tử ngay lập tức làm tăng chi phí thực hiện cổng nói trên mã. Và do đó, cổng Clifford thực hiện đi vào loại chi phí thấp, trong khi cổng không phải Clifford đi vào loại chi phí cao.

2. Từ góc độ kỹ thuật, điều quan trọng là phải quyết định một danh sách tiêu chuẩn của các đơn vị tính toán lượng tử cơ bản (chuẩn bị trạng thái, cổng, quan sát đo lường / cơ sở), v.v. Việc thực hiện cổng Clifford là lựa chọn thuận tiện trong danh sách đó vì nhiều lý do (hầu hết các bộ cổng lượng tử phổ biến nổi tiếng bao gồm nhiều cổng Clifford trong đó, định lý Gottesman-Knill **, v.v.).

Đây là hai lý do duy nhất tôi có thể nghĩ về lý do tại sao nhóm Clifford có tình trạng cao như vậy trong nghiên cứu về QECC (đặc biệt khi bạn đang nghiên cứu mã ổn định). Cả hai lý do bắt nguồn từ một quan điểm kỹ thuật.

Vì vậy, câu hỏi là người ta có thể xác định các lý do khác, mà không xuất phát từ quan điểm kỹ thuật? Có một số vai trò quan trọng khác mà cổng Clifford đóng, mà tôi đã bỏ lỡ?

Lý do khác có thể có: Tôi biết rằng nhóm Clifford là người bình thường hóa của nhóm Pauli trong nhóm Đơn vị (trên hệ thống qubit). Ngoài ra, nó có cấu trúc sản phẩm semidirect (thực sự là một đại diện dự kiến ​​của nhóm sản phẩm semidirect). Có phải chính các mối quan hệ / tính chất này đưa ra một lý do khác tại sao người ta phải nghiên cứu nhóm Clifford kết hợp với các mã ổn định?$n$

* Hãy sửa nó. ** Những trạng thái giới hạn trong một số hoạt động nhất định, bạn không thể có được lợi thế lượng tử và do đó bạn cần nhiều hơn một chút so với tập hợp các hoạt động ban đầu bạn tự giới hạn.

Các hoạt động của Clifford thường dễ dàng thực hiện khả năng chịu lỗi trong các mã ổn định, theo chiều ngang hoặc biến dạng mã. Lý do chính xác như bạn nghĩ: mối quan hệ đặc biệt giữa các cổng này và Paulis, vì cái sau được sử dụng để xác định mã ổn định.

Có thể lấy các cổng không phải Clifford theo mã, nhưng phải trả giá. Cụ thể, có một mối quan hệ giữa địa phương hình học của mã và các cổng họ có thể thực hiện theo chiều ngang. Vì vậy, nếu bạn chỉ được phép thực hiện các cổng được kiểm soát lân cận gần nhất trên mạng 2D (chẳng hạn như mã bề mặt hoặc Mã màu) thì chỉ có thể có Cliffords. Xem các giấy tờ như thế này để biết thêm về điều này.

Thực tế là chúng ta có thể mong đợi Cliffords chịu lỗi từ các mã ổn định sau đó đã được đặt vào trung tâm của các kỹ thuật để tổng hợp các bộ cổng phổ quát. Vì vậy, nếu có cách tạo trạng thái mã hóa không ổn định theo cách không chịu lỗi, chúng tôi biết cách làm sạch nó bằng cách sử dụng Clifford logic của chúng tôi. Để biến các trạng thái này thành phép quay, chúng tôi sử dụng Cliffords logic của chúng tôi. Vì vậy, nếu bạn có mã và muốn áp dụng tất cả các kết quả ngoài luồng này, tốt hơn hết bạn nên tìm Cliffords chịu lỗi của mình. Hoặc ít nhất là Paulis, H và CZ hoặc CNOT nếu bạn không thể quản lý tất cả.