Làm thế nào để xây dựng Z đa điều khiển từ các cổng cơ bản?

Để thực hiện một thuật toán lượng tử nhất định, tôi cần xây dựng một cổng Z được kiểm soát nhiều qubit (trong trường hợp này là cổng Z có ba qubit) từ một tập hợp các cổng cơ bản, như trong hình dưới đây. .

Các cổng mà tôi có thể sử dụng là

• cổng Pauli và tất cả các quyền hạn của họ (tức là tất cả các phép quay Pauli cho đến một yếu tố pha),$\rm X, Y, Z$
• (xoay về | 11 ⟩ ⟨ 11 | máy chiếu),${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$$|11\rangle\langle11|$
• (Hadamard),$\rm H$
• (đơn qubit kiểm soát-X hoặc CNOT),$\rm C_X$
• (đơn qubit kiểm soát-Z) và$\rm C_Z$
• (SWAP).$\rm S$

Làm thế nào tôi có thể đi về việc xây dựng Z kiểm soát ba qubit này từ các cổng này? Tôi đã đọc một số bài báo về phân rã mạch, nhưng không ai trong số họ có thể cho tôi một câu trả lời rõ ràng và súc tích.

(EDIT: Cải thiện thành 14 CNOT.)

Nó có thể được thực hiện với 14 CNOT, cộng với 15 lần quay Z đơn qubit và không có qubit phụ.

Mạch tương ứng là

trong đó các cổng $\fbox{$\pm$}$ là các phép quay

Đạo hàm:

Sử dụng quy trình được mô tả trong https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , bất kỳ cổng chéo nào - đặc biệt là cổng CCCZ - có thể được phân tách theo các ví dụ như CNOT và cổng chéo một qubit, trong đó các CNOT có thể được tối ưu hóa theo cách riêng của chúng theo quy trình tối ưu hóa cổ điển.

Tham chiếu cung cấp một mạch sử dụng 16 CNOT cho các cổng 4 qubit chéo tùy ý (Hình 4).

Điều này có thể được cải thiện nếu các cặp qubit tùy ý có thể được ghép thành 14 qubit. Đối với các nước láng giềng gần nhất có điều kiện biên (mở) định kỳ, điều này có thể được thực hiện với 16 (18) CNOT. Các mạch tương ứng có thể được tìm thấy trong https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , Hình 5.2, 5.4 và 5.5, và có thể lấy được bằng cách sử dụng các phương pháp để xây dựng các chuỗi Xám ngắn.

Số lượng cổng một qubit luôn là 15.

$\bigoplus_{i\in I}x_i$$I\subset\{1,2,3,4\}$

Cũng lưu ý rằng việc xây dựng này không có nghĩa là cần phải tối ưu.

^{1 Lưu ý: Tôi là tác giả}

$n$$U$$U$$Z$

Đây là một công trình CCCZ sử dụng 29 cổng :

Nếu bạn được phép sử dụng phép đo và phản hồi cổ điển, số cổng có thể giảm xuống còn 25 :

(Cổng Hadamard có thể được thay thế bằng căn bậc hai của Y nếu cần để đáp ứng các ràng buộc của bộ cổng.)

Và nếu bạn cho phép tôi thực hiện các cổng Controled-S và cổng Controled-sqrt (X) và thực hiện các phép đo cơ sở X, thì tôi có thể giảm tổng số xuống còn 10 cổng :

Tôi đang đăng một phân tách CCCZ khác ở đây chỉ trong trường hợp nó hữu ích cho bất kỳ ai khác đang cố gắng biên dịch CCCZ. Nó đòi hỏi số lượng cổng tổng số nhỏ hơn và chỉ có 1 qubit phụ thay vì 2, nhưng năm cổng 2 qubit nhiều hơn câu trả lời "rõ ràng", vì vậy thực sự có thể tồi tệ hơn khi thực hiện trên Phần cứng.

Nó được đề xuất bởi người dùng @Rob trong bình luận này: Tự động biên dịch các mạch lượng tử và xuất phát từ bài báo này .

$(\chi)$

$n=5$$\chi_{ij}=\chi$

$T$$Z^{1/4}$

$T$$|1\rangle$$HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$$-iHT^4H=-iX$$Z^{1/4}$$XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$

Ngoài ra, lưu ý rằng hai cổng Toffoli chỉ là Toffoli vì chúng nhắm mục tiêu trạng thái 0. Thông thường, bạn sẽ cần thêm một cổng hai qubit.

Tôi đã không tìm thấy một công trình hiệu quả trong tài liệu hiện có, mặc dù bài báo này tuyên bố một công trình chỉ sử dụng 11 cổng 2 qubit, nhưng tôi đã không thực hiện đếm cổng hoàn chỉnh sau khi được chuyển thành bộ cổng hạn chế của câu hỏi.

Trong khi câu trả lời khác của tôi là cách "sách giáo khoa" rõ ràng nhất (sử dụng phân tách CCCZ của Nielsen & Chaung thành CCNOT , thì một phân tách sách giáo khoa khác để biên dịch CCNOT ), một cách sáng tạo hơn có thể cho phép chúng tôi hoàn thành công việc với ít cổng hơn.

Bước 1:

Thay thế tất cả các CNOT trong mạch của Nielsen & Chuang bằng tiện ích này:

Bước 2:

Bây giờ chúng tôi có một loạt các CCZ thay vì CCNOT và chúng có thể được phân tách như thế này (lịch sự của bài viết này ):

Bước 3:

$H^2 = I$