Phép đo Helstrom là gì?

Tôi đã đọc bài báo Giải mã tín ngưỡng của các kênh lượng tử bằng cách chuyển các thông điệp lượng tử của Joseph Renes để giải mã các kênh Cổ điển-Lượng tử và tôi đã vượt qua khái niệm Phép đo Helstrom .

Tôi có một số kiến thức về lý thuyết thông tin lượng tử và sửa lỗi lượng tử, nhưng tôi chưa bao giờ đọc về phép đo như vậy cho đến khi tôi làm việc trên bài báo đó. Trong bài viết như vậy, tác giả nói rằng phép đo là tối ưu cho quy trình giải mã này, vì vậy tôi muốn biết loại phép đo như vậy là gì và làm thế nào để thực hiện chúng.

algorithm error-correction quantum-information

— Josu Etxezarreta Martinez
nguồn

Phép đo Helstrom là phép đo có xác suất lỗi tối thiểu khi cố gắng phân biệt giữa hai trạng thái.

Ví dụ, hãy tưởng tượng bạn có hai trạng thái tinh khiết và , và bạn muốn biết đó là bạn phải. Nếu , sau đó bạn có thể chỉ định một phép đo với ba máy chiếu $|\psi\rangle$ $|\phi\rangle$ $\langle\psi|\phi\rangle=0$ (Đối với không gian Hilbert hai chiều,)

P_{ψ} = | ψ ⟩ ⟨ ψ | P_{ϕ} = | ϕ ⟩ ⟨ ϕ | \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=|\psi\rangle\langle\psi|\qquad P_{\phi}=|\phi\rangle\langle\phi|\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

\bar{P} = 0

$\bar P=0$

Câu hỏi đặt ra là những gì đo bạn nên thực hiện trong trường hợp đó ? Cụ thể, chúng ta hãy giả sử rằng , và tôi sẽ chỉ tập trung vào đo xạ (IIRC, đây là tối ưu). Trong trường hợp đó, luôn có một đơn nhất sao cho $\langle\psi|\phi\rangle\neq0$ $\langle\psi|\phi\rangle=\cos(2\theta)$ $U$ Bây giờ, những trạng thái được phân biệt tối ưu bởivà(bạn nhận , và bạn giả sử bạn có ). Do đó, việc đo lường tối ưu là

U | ψ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ + \sin θ | 1 ⟩ U | ϕ ⟩ = \cos θ | 0 ⟩ - \sin θ | 1 ⟩ .

| + ⟩ ⟨ + |

$|+\rangle\langle +|$

| - ⟩ ⟨ - |

$|-\rangle\langle -|$

| + ⟩

$|+\rangle$

U | ψ ⟩

$U|\psi\rangle$

Xác suất thành công là

P_{ψ} = U^{†} | + ⟩ ⟨ + | U P_{ϕ} = U^{†} | - ⟩ ⟨ - | U \bar{P} = I - P_{ψ} - P_{ϕ} .

$P_{\psi}=U^\dagger|+\rangle\langle+|U\qquad P_{\phi}=U^\dagger|-\rangle\langle-|U\qquad \bar P=\mathbb{I}-P_{\psi}-P_{\phi}.$

{(\frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}})}^{2} = \frac{1 + \sin (2 θ)}{2} .

$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1+\sin(2\theta)}{2}.$

$\rho_1$ $\rho_2$

δ ρ = ρ_{1} - ρ_{2},

$\delta\rho=\rho_1-\rho_2,$

{λ_{i}}

$\{\lambda_i\}$

| λ_{i} ⟩

$|\lambda_i\rangle$

δ ρ

$\delta\rho$

P_{1} = \sum_{i : λ_{i} > 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{2} = \sum_{i : λ_{i} < 0} | λ_{i} ⟩ ⟨ λ_{i} | P_{0} = I - P_{1} - P_{2} .

$P_1=\sum_{i:\lambda_i>0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_2=\sum_{i:\lambda_i<0}|\lambda_i\rangle\langle\lambda_i|\qquad P_0=\mathbb{I}-P_1-P_2.$

P_{1}

$P_1$

ρ_{1}

$\rho_1$

P_{2}

$P_2$

ρ_{2}

$\rho_2$

P_{0}

$P_0$

\frac{1}{2} Tr ((P_{1} + P_{0} / 2) ρ_{1}) + \frac{1}{2} Tr ((P_{2} + P_{0} / 2) ρ_{2})

$\frac12\text{Tr}((P_1+P_0/2)\rho_1)+\frac12\text{Tr}((P_2+P_0/2)\rho_2)$

\frac{1}{4} Tr ((P_{1} + P_{2} + P_{0}) (ρ_{1} + ρ_{2})) + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$\frac14\text{Tr}((P_1+P_2+P_0)(\rho_1+\rho_2))+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

P_{1} + P_{2} + P_{0} = I

$P_1+P_2+P_0=\mathbb{I}$

Tr (ρ_{1}) = Tr (ρ_{2}) = 1

$\text{Tr}(\rho_1)=\text{Tr}(\rho_2)=1$

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2})) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} Tr | ρ_{1} - ρ_{2} | .

$\frac12+\frac14\text{Tr}((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))=\frac12+\frac14\text{Tr}|\rho_1-\rho_2|.$

— DaftWullie
nguồn

λ_{i}

$\lambda_i$

δ ρ

$\delta\rho$

@JosuEtxezarretaMartinez Có.

— DaftWullie

T r ((P_{1} - P_{2}) (ρ_{1} - ρ_{2}))

$Tr((P_1-P_2)(\rho_1-\rho_2))$

T r | ρ_{1} - ρ_{2} |

$Tr|\rho_1-\rho_2|$

P_{1}

$P_1$

δ ρ

$\delta\rho$

- P_{2}

$-P_2$

δ ρ

$\delta\rho$

(P_{1} - P_{2}) δ ρ = | δ ρ |

$(P_1-P_2)\delta\rho=|\delta\rho|$