Alice và Bob cần bao nhiêu bit để so sánh để đảm bảo kênh được an toàn trong BB84?

Tôi đã cố gắng tự học qmc bằng cách đọc cuốn sách Giới thiệu lượng tử Một cuốn sách giới thiệu nhẹ nhàng, trong phần 2.4, nó nói về giao thức phân phối khóa lượng tử BB84. Sau khi (tôi nghĩ) tôi đã hiểu nó, tôi đã đi làm bài tập 2.9 và 2.10.

Ví dụ. 2.9 đang hỏi Alice và Bob cần bao nhiêu bit để so sánh để tự tin 90% rằng không có đêm giao thừa trong BB84. Vì vậy, nếu tôi hiểu chính xác, BB84 như sau:

Alice chọn ngẫu nhiên một cơ sở / sự phân cực của photon từ hai cơ sở và để mã hóa thông tin bit hoặc (quy tắc mã hóa được biết đến, ví dụ đại diện cho ). Sau đó cô ấy gửi một chuỗi các photon như vậy cho Bob. $\{ | 0 \rangle, | 1 \rangle \}$ $\{ |+\rangle, |-\rangle \}$ $0$ $1$ $|0\rangle$ $0$
Bob nhận được chuỗi photon và chọn ngẫu nhiên một cơ sở từ hai cơ sở và số đo giống nhau cho mỗi một photon.
Sau đó, họ so sánh các căn cứ họ đã chọn và loại bỏ những căn cứ nơi họ chọn căn cứ khác nhau. Bob có thể tìm ra bit Alice đang cố gửi. (ví dụ nếu căn cứ họ sử dụng là và Bob đã đo bằng cách sử dụng cơ sở nhưng có ánh sáng cường độ sau đó ông biết rằng sự phân cực của Alice là nên thông tin bit là ). $\{ |0\rangle, |1\rangle \}$ $|1\rangle$ $0$ $|0\rangle$ $0$
Để an toàn hơn, họ cũng so sánh một tập hợp con của các bit, nếu không có nhiễu thì tất cả các bit của chúng phải đồng ý. Họ loại bỏ các bit này và những gì còn lại là chìa khóa.

Mặt khác, Eve đang cố gắng chặn photon từ Alice, cũng đo nó ngẫu nhiên từ hai căn cứ, sau đó cô gửi cơ sở mà cô sử dụng để đo cho Bob. Sau khi Alice & Bob công khai so sánh các căn cứ của họ, Eve có thể biết chắc chắn chìa khóa, mặc dù cô chắc chắn đã thay đổi photon mà Bob sẽ nhận được. $25%$

Vì vậy, để trả lời câu hỏi đầu tiên ex. 2.9, Tôi đã liệt kê các kịch bản khác nhau khi Alice và Bob so sánh một tập hợp con của các bit:

Giả sử Alice gửi một , $|0\rangle$

Có xác suất Eve cũng đo bằng , sau đó cô sẽ không bị phát hiện. $0.25$ $|0\rangle$
$0.25$ - Các biện pháp đêm giao thừa bằng cách sử dụng sau đó cô ấy sẽ được phát hiện chắc chắn vì Bob sẽ nhận được giá trị bit ngược lại là Alice. $|1\rangle$
$0.25$ cơ hội các biện pháp trong đêm giao thừa bằng cách sử dụng , giờ đây Bob sẽ nhận được , sau đó nếu Bob sử dụng và có được cơ hội tương tự với cơ hội, nếu không, anh ta sẽ sử dụng để đo nhưng vẫn kết thúc với bit đúng với cơ hội. Đó là $|+\rangle$ $|+\rangle$ $|0\rangle$ $0.5$ $|1\rangle$ $0.5$ $0.25 \times (0.5 + 0.5) = 0.25$
Tương tự như 3, 0,25

Vì vậy, để tổng hợp xác suất, Eve sẽ không bị phát hiện, đó là và chúng tôi muốn chuỗi bit mà Eve không bị phát hiện nhỏ hơn , mang lại , xấp xỉ . $0.25 + 0 + 0.25 + 0.25 = 3/4$ $10%$ $(\frac{3}{4})^n < 0.1$ $n=8$

Câu hỏi thứ hai 2.10c, sửa đổi điều kiện một chút, thay vì Eve chọn từ hai cơ sở đã biết (tiêu chuẩn và ), cô không biết nên chọn cái nào nên cô chọn ngẫu nhiên, sau đó cần bao nhiêu bit A & B để so sánh để có độ tin cậy 90%? $+/-$

Cách tiếp cận của tôi là, giả sử Alice vẫn sử dụng cơ sở tiêu chuẩn và cô ấy gửi một . Bây giờ, Eve có thể đo nó trong cơ sở của mình trong đó và , sau đó Eve gửi đi cơ sở mà cô ấy sử dụng cho Bob một lần nữa. Tôi lại liệt kê ra các kịch bản, $\{|0\rangle |1\rangle \}$ $|0\rangle$ $\{ |e_1\rangle, |e_2\rangle \}$ $|e_1\rangle = \cos\theta|0\rangle + \sin\theta|1\rangle$ $|e_2\rangle = \sin\theta|0\rangle-\cos\theta|1\rangle$

Nếu các biện pháp với Eve (với 0,5 cơ hội) sau đó Bob nhận , sau đó nếu các biện pháp Bob với sau đó anh nhận được chút đúng với probabiltity, nếu ông đo trong sau đó anh ta nhận được bit chính xác với . Simiarly khi Eve sử dụng $|e_1\rangle$ $|e_1\rangle$ $|0\rangle$ $|\cos\theta|^2$ $|1\rangle$ $1 - |\sin\theta|^2=|\cos\theta|^2$ $|e_2\rangle$

tổng hợp sau đó tôi nhận được , điều này chắc chắn là không chính xác! $0.5\times(2|\cos\theta|^2)+0.5\times(2|\sin\theta|^2)=1$

Sau đó, tôi đã cố gắng tìm kiếm trực tuyến và tìm thấy một giải pháp ở đây , trong đó xác suất Bob nhận được bit chính xác là: , sau đó tích hợp qua (được chuẩn hóa bởi ) là một lần nữa giống như trong ex2.9. $|\langle0|e_1\rangle\langle e_1|0\rangle|^2 + |\langle0|e_2\rangle\langle e_2|0\rangle|^2 =\cos^4\theta+\sin^4\theta$ $[0, \frac{\pi}{2}]$ $\pi/2$ $\frac{3}{4}$

Ai đó có thể giải thích lý do tại sao nó trong cả chi tiết toán học và trực giác cấp cao (ví dụ tại sao ngay cả Eve không biết cơ sở nào để sử dụng nó vẫn cần 8 bit so sánh cho A & B?)? $\cos^4\theta+\sin^4\theta$

Cảm ơn rất nhiều!

quantum-information cryptography communication

— Sam
nguồn

Phân tích của bạn về gian lận của Eve có vẻ không đúng lắm (mặc dù câu trả lời cuối cùng là đúng). Điều bạn cần nói là: Giả sử Alice chuẩn bị một trạng thái cụ thể ở một trong những căn cứ. Bạn có thể giả sử đó là , nhưng bạn có thể đưa ra lập luận tổng quát hơn. $|0\rangle$

Với xác suất 50%, Eve đo lường trong cùng một cơ sở mà Alice đã chuẩn bị (cơ sở 0/1 trong trường hợp này). Eve được đảm bảo nhận được cùng một câu trả lời (0), và vì vậy Bob vẫn sẽ nhận được cùng một câu trả lời (0) vì chúng tôi đang làm việc cụ thể trong trường hợp Bob đo cùng cơ sở với Alice. Giao thừa không được phát hiện.
Với xác suất 50%, các biện pháp đêm giao thừa trong cơ sở khác. Cô ấy sẽ nhận được một câu trả lời. Nó thực sự không quan trọng nó là gì (trong trường hợp này là hoặc ). Bob nhận được trạng thái đó là gì, và đo lường trong cơ sở ban đầu, và nhận được hai kết quả khác nhau với xác suất 50:50. Eve không bao giờ biết bất cứ điều gì về bit đã chọn của Alice và cô bị phát hiện một nửa thời gian. $|+\rangle$ $|-\rangle$

Nhìn chung, Eve học được giá trị bit một nửa thời gian và được phát hiện trong 1/4 trường hợp. Bây giờ, nghiêm túc, bạn nên trung bình trên tất cả các đầu vào có thể có của Alice. Nhưng có đủ sự đối xứng trong trường hợp đơn giản này rằng tất cả các kết quả đều giống nhau.

Trong câu hỏi thứ hai, bạn đã bỏ lỡ một tính năng quan trọng: nếu Eve thay đổi cơ sở đo lường của cô ấy, xác suất cô ấy nhận được các kết quả khác nhau (bạn đã giữ nó ở mức 1/2).

Vẫy tay cấp cao: Nếu Eve chọn một cơ sở rất gần với cơ sở 0/1, cô ấy gần như được đảm bảo nhận được câu trả lời giống như giá trị bit mà Alice đang gửi (nếu cô ấy gửi trong cơ sở 0/1) , và cô gần như được đảm bảo để không bị phát hiện. Khi bạn càng rời xa cơ sở đó, Eve càng học ít hơn và có nhiều khả năng bị phát hiện. Nhưng, sự đánh đổi là nếu Alice đã sử dụng cơ sở khác , cơ hội bị phát hiện của cô sẽ giảm và kiến thức về bit của cô được cải thiện. Điều đó nói rằng, nó không phải là một sự đánh đổi hoàn hảo. Tôi sẽ chỉ cho bạn lý do tại sao rất dễ dàng: Hãy tưởng tượng rằng Alice đang sử dụng hai cơ sở tiêu chuẩn. Điều gì xảy ra nếu Eve đo lường trong cơ sở mỗi lần? Nó luôn luôn $(|0\rangle\pm i|1\rangle)/\sqrt{2}$ trường hợp (bất kể cơ sở nào Alice chọn) có 50% khả năng Eve bị phát hiện.

Về mặt toán học, những gì bạn cần nói là tưởng tượng Alice đã gửi . Do đó, với xác suất , Eve nhận được câu trả lời , được chuyển cho Bob, người nhận được câu trả lời với xác suất . Trong khi đó, với xác suất , Eve nhận được câu trả lời , gửi nó cho Bob và anh ta nhận được câu trả lời với xác suất . Do đó, xác suất chung của Bob không phát hiện được gì là do Alice đã gửi $|0\rangle=\cos\theta|e_1\rangle+\sin\theta|e_2\rangle$ $\cos^2\theta$ $|e_1\rangle$ $|0\rangle$ $\cos^2\theta$ $\sin^2\theta$ $|e_2\rangle$ $|0\rangle$ $\sin^2\theta$

\cos^{4} θ + \sin^{4} θ = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 θ),

$\cos^4\theta+\sin^4\theta=1-\frac12\sin^2(2\theta),$

| 0 ⟩

$|0\rangle$ . Phân tích sẽ giống hệt nhau nếu Alice gửi . Tuy nhiên, bạn cần lặp lại phân tích nếu Alice gửi . (Tại thời điểm này, rõ ràng là bạn cần một tham số pha trong định nghĩa của bạn về và nếu bạn thực sự muốn trung bình trên tất cả các cơ sở có thể, nhưng tôi sẽ tiếp tục với định nghĩa của bạn.) Vì vậy, giả sử Alice đã gửi . Vì vậy, Eve nhận được câu trả lời với xác suất và Bob nhận được câu trả lời với xác suất

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| + ⟩

$|+\rangle$

| e_{1} ⟩

$|e_1\rangle$

| e_{2} ⟩

$|e_2\rangle$

| + ⟩ = ((\cos θ + \sin θ) | e_{1} ⟩ - (\cos θ - \sin θ) | e_{2} ⟩) / \sqrt{2}

$|+\rangle=((\cos\theta+\sin\theta)|e_1\rangle-(\cos\theta-\sin\theta)|e_2\rangle)/\sqrt{2}$

| e_{1} ⟩

$|e_1\rangle$

(\cos θ + \sin θ)^{2} / 2

$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$

| + ⟩

$|+\rangle$

(\cos θ + \sin θ)^{2} / 2

$(\cos\theta+\sin\theta)^2/2$ . Do đó, về tổng thể, xác suất của Eve không được phát hiện là Tính trung bình trên tất cả các đầu vào có thể có của Alice, do đó, chúng tôi nhận được Tại thời điểm này, đã biến mất. Chúng tôi không phải trung bình trên tất cả có thể . Tuy nhiên, lưu ý rằng nếu chúng tôi đã giới thiệu chính xác một pha theo định nghĩa của

{(\frac{\cos θ + \sin θ}{\sqrt{2}})}^{4} + {(\frac{\cos θ - \sin θ}{\sqrt{2}})}^{4} = 1 - \frac{1}{2} \cos^{2} (2 θ) .

$\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4+\left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^4=1-\frac12\cos^2(2\theta).$

\frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2} \cos^{2} (2 θ)) + \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2} \sin^{2} (2 θ)) = \frac{3}{4} .

$\frac12\left(1-\frac12\cos^2(2\theta)\right)+ \frac12\left(1-\frac12\sin^2(2\theta)\right)=\frac34.$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

ϕ

$\phi$

| e_{1} ⟩

$|e_1\rangle$ , nó sẽ là cần thiết để thực hiện một số trung bình. Hơn nữa, giải pháp mà bạn trích dẫn không làm điều đó trung bình chính xác. Hãy nhớ rằng nếu bạn muốn chuyển đổi từ tọa độ tích phân trong sang tích phân trong tọa độ , bạn cần chuyển đổi. Bạn sẽ phải thực hiện một tích phân giống như trong đó là xác suất phát hiện ra Eve cho một . (Bạn có thể muốn kiểm tra công thức này một cách cẩn thận và xác minh các yếu tố của 2, vì tôi đã viết nó từ bộ nhớ. Nó hơi lộn xộn bởi vì, bạn đã sử dụng một góc

(x, y)

$(x,y)$

(r, θ)

$(r,\theta)$

\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} d φ \int_{0}^{π / 2} tội (2 θ) d θ f (θ, φ),

$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\phi\int_{0}^{\pi/2}\sin(2\theta)d\theta f(\theta,\phi),$

f (θ, ϕ)

$f(\theta,\phi)$

θ, ϕ

$\theta,\phi$

θ

$\theta$ trong định nghĩa của , có nghĩa là một góc trên quả cầu Bloch.)

| e_{1} ⟩

$|e_1\rangle$

2 θ

$2\theta$

Một điều khác, chúng tôi đã không tính toán được nó đã học được bao nhiêu. Nếu cô ấy tương ứng với giá trị bit 0 và với giá trị bit 1, cô là đúng với xác suất Bạn có thể tính trung bình trên , nhưng một trong những điều thú vị cần quan sát là nếu Eve biết rằng hai cơ sở đang được sử dụng, cô ấy có thể tối ưu hóa giá trị . Giá trị cung cấp cho cô ấy nhiều kiến thức hơn (trung bình) rằng cài đặt hoặc (đó là những trường hợp bạn đã phân tích trong câu hỏi đầu tiên. $|e_1\rangle$ $|e_2\rangle$

\frac{1}{2} (\cos^{2} θ + {(\frac{\cos θ + tội θ}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\frac12\left(\cos^2\theta+\left(\frac{\cos\theta+\sin\theta}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ = \frac{π}{8}

$\theta=\frac{\pi}{8}$

θ = 0

$\theta=0$

π / 4

$\pi/4$

— DaftWullie
nguồn

Tôi đã hiểu sai cụm từ cơ bản 'đo lường với cơ sở', tôi nghĩ bằng cách đo bằng cách sử dụng ví dụ cơ sở tiêu chuẩn, là bạn chọn một trong hai cơ sở để đo lường, vì vậy | 0> hoặc | 1> nhưng nên đo 'cùng nhau '(trong thực tế, công cụ thực tế có thể là một bộ phân cực với hai khe phân cực). Vì vậy, bây giờ cả câu trả lời ex2.9 và 2.10 có ý nghĩa hơn đối với tôi. Tôi thấy ... vì vậy định nghĩa chung hơn nên là .

\cos θ | 0 > + e^{i ϕ} \sin θ | 1 >

$\cos\theta|0>+e^{i\phi}\sin\theta|1>$

— Sam

Thật thú vị ... mặc dù các bit chính xác trung bình mà Eve nhận được là 50% nhưng có một góc độ mà xác suất lấy bit chính xác của cô ấy cao hơn, mặc dù cô ấy không thể sử dụng thông tin góc

p i / 8

$pi/8$

— Sam