Cách nhỏ gọn để mô tả tập hợp tất cả các nhóm chất ổn định cho số lượng qubit vật lý cố định và qubit logic được mã hóa

Sửa , số lượng qubit và , số lượng qubit logic được mã hóa. Chúng tôi có thể tìm thấy một bộ khai thác rằng tất cả các bên đi lại và hơn nữa tạo thành một nhóm . Giả sử rằng nhóm là một nhóm con của nhóm Pauli. Chúng ta có thể sử dụng các toán tử này để sửa một không gian vectơ . $n$ $k$ $(n-k)$ $S$ $S$ $2^{n-k}$

Bây giờ hãy xem xét tất cả các nhóm ổn định được hình thành theo cách này, mã hóa qubit trong và xem xét tập , trong đó là một cụ thể nhóm ổn định ổn định không gian vectơ . Làm thế nào tôi có thể rõ ràng parametrize bộ này? Ví dụ: với và , chúng ta có thể có và và vv cho các nhóm ổn định khác biệt. $S_i$ $k$ $n$ $\mathcal{S}= \{S_i \, \vert\, i=1 \ldots N\}$ $S_i$ $2^{n-k}$ $n=3$ $k=1$ $S_1 = \langle Z_1Z_2, Z_2 Z_3\rangle$ $S_2 = \langle X_1X_2, X_2 X_3\rangle$

Một cách khả thi cho giải pháp là xem xét ma trận kiểm tra chẵn lẻ cho một cụ thể $S_i$ , sau đó hỏi hành động nhóm nào chúng ta có thể xác định sẽ trên ma trận kiểm tra chẵn lẻ của $S_i$ để tạo ra ma trận kiểm tra chẵn lẻ cho bất kỳ nhóm ổn định nào khác có cùng số lượng . Nhưng tôi không biết một nhóm như vậy sẽ hành động như thế nào với nhóm ổn định. Trong ví dụ của tôi cho $(n,k) = (3,1)$ ở trên, ví dụ: tôi có thể thay đổi $S_1$ thành $S_2$ bằng cách chia động từ Hadamard và tôi nghĩ rằng điều này tương ứng với phép nhân đúng của ma trận $2n \times 2n$ trên ma trận kiểm tra chẵn lẻ.

Vì ví dụ này, tôi rất muốn nghĩ rằng những gì tôi yêu cầu là sự chia động từ cả nhóm Clifford hoặc một nhóm con của nó để hành động bằng cách chia $S_i$ và điều đó sẽ tương ứng với ma trận đối xứng $(2n \times 2n)$ trên ma trận kiểm tra chẵn lẻ. Trong trường hợp đó, tập $\mathcal{S}$ được tham số hóa bằng cách sửa một nhóm ổn định cụ thể $S_i$ và hành động trên nó bằng cách chia bởi một đại diện đơn nhất của nhóm hoặc nhóm phụ Clifford. Có gần không?

error-correction stabilizer-code

— Amara
nguồn

Bạn chính xác muốn nhận được gì? Theo như tôi hiểu trong câu hỏi, bạn đang cố gắng đại diện cho nhóm chất ổn định bằng cách đại diện cho một trong những chất ổn định thông qua một ma trận đối xứng và các nhóm khác bằng một số biến đổi của ma trận đó. Tôi thực sự không thấy động lực của việc đại diện cho nhóm chất ổn định theo cách này, vì bạn có thể đại diện cho nó bằng toàn bộ ma trận kiểm tra chẵn lẻ lấy phản hồi đối xứng của mỗi máy phát ổn định và sau đó tạo thành ma trận .

(n - k) \times 2 n

$(n-k)\times 2n$

— Josu Etxezarreta Martinez

@JosuEtxezarretaMartinez Cuối cùng tôi muốn đặt cân mỗi yếu tố theo một số xác suất. Vì vậy, ví dụ tôi có thể chọn mã lật bit với xác suất 0,5 và mã lật pha với xác suất 0,5. Trong thực tế, tập sẽ lớn hơn và vì vậy tôi cần một cách để đảm bảo tôi có thể đến mọi phần tử trong tập hợp

S_{i}

$S_i$

S

$\mathcal{S}$

— Amara

Có tin tốt và tin xấu. Tin tốt là trực giác của bạn về cơ bản là đúng, và có một hành động nhóm như vậy thông qua nhóm Clifford. Tin xấu là, tùy thuộc vào những gì bạn muốn từ tham số đó, nó có thể không hữu ích như bạn đang hy vọng. $\def\ket#1{\lvert #1 \rangle}$

Tin tốt trước tiên - mỗi nhóm ổn định Pauli trên qubit, với các bộ tạo độc lập , có thể được ánh xạ tới bất kỳ nhóm nào khác bằng cách chia bởi các nhà khai thác nhóm Clifford. Cách đơn giản nhất để thể hiện điều này là bằng cảm ứng trên . Nếu , thì chỉ có một nhóm ổn định như vậy: nhóm tầm thường . Đối với bất kỳ , với nhóm ổn định đầu vào , bạn có thể giảm xuống trường hợp của bằng các bước sau: $n$ $r = n-k$ $r$ $r = 0$ $\{ \mathbf 1 \}$ $r > 0$ $S$ $r-1$

Chọn bất kỳ trình tạo của nhóm bộ ổn định và một số qubit mà hoạt động không tầm thường. $P_r$ $x_r$ $P_r$
Tìm toán tử nhóm Clifford sao cho , toán tử Pauli đơn qubit chỉ hoạt động trên qubit . Toán tử có thể liên quan đến các toán tử SWAP để trao đổi các yếu tố cho qubit và . $C_r$ $C_r P_r C_r^\dagger = Z_{n-r}$ $Z$ $(n-r)$ $C_r$ $x_r$ $(n-r)$
Xác định cách các máy phát khác của nhóm ổn định biến đổi theo . Điều này tạo ra một danh sách các trình tạo cho nhóm . Bởi vì là abel, hình ảnh của mỗi máy phát điện hoặc hoạt động trên qubit với hoặc . Trong trường hợp sau, tạo một trình tạo mới bằng cách nhân nó với . Vì là một phần tử của , điều này mang lại một bộ máy phát tương đương cho nhóm. $C_r$ $S' = \{ C_r P C_r^\dagger \,\vert\, P \in S\}$ $S'$ $(n-r)$ $\mathbf 1$ $Z$ $Z_{n-r}$ $Z_{n-r}$ $S'$

Làm xong việc này, bạn có một nhóm bộ ổn định cho một không gian con được ổn định bởi . Bất kỳ trạng thái nào trong nhóm này đều là một sản phẩm tenor của trên qubit và một số trạng thái trên các qubit còn lại. Bằng cách xem xét mã ổn định được xác định trên tất cả các qubit khác, bạn đã giảm được trường hợp của nhóm ổn định trên qubit và với các trình tạo . $Z_{n-r}$ $\ket{0}$ $(n-r)$ $n-1$ $r-1$

Nếu chúng tôi giải nén bằng chứng quy nạp này, chúng tôi có được một quy trình đệ quy để ánh xạ bất kỳ mã ổn định với các bộ tạo sang mạch Clifford để ánh xạ nhóm ổn định đó vào nhóm cụ thểNếu bạn có hai mã như vậy và , chỉ cần soạn các mạch của họ để có được một mạch ánh xạ thành . Có một số dư thừa, trong đó các bộ máy phát khác nhau của nhóm ổn định sẽ tạo ra các mạch khác nhau $S$ $r$ $\mathcal C$

Z_{n, r} : = ⟨ Z_{n - r}, Z_{n - r + 1}, Giáo dục, Z_{n} ⟩ .

$\mathcal Z_{n,r} := \langle Z_{n-r}, Z_{n-r+1}, \ldots, Z_n\rangle \,.$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

C_{2}^{†} C_{1}

$\mathcal C_2^\dagger \mathcal C_1$

S_{1}

$S_1$

S_{2}

$S_2$

S_{j}

$S_j$

C_{j}

$\mathcal C_j$ : điều này tương ứng với thực tế là một số mạch Clifford chỉ đánh giá tính tự động ( tức là tính không hợp lý logic) của mã. Nhưng đừng bận tâm: những gì bạn có là một cách tạo ra bất kỳ mã ổn định nào trên qubit với các bộ tạo ổn định từ một mã duy nhất.

n

$n$

r

$r$

Tin xấu là, vì điều này là, tất cả những gì chúng tôi đã làm ở trên có hiệu lực để tham số hóa các mã ổn định bằng các mạch mã hóa của chúng. Theo "mạch mã hóa", ý tôi chỉ là mạch có trạng thái qubit , sau đó mã hóa trong hệ thống -qubit bằng cách chuẩn bị qubit mới ở trạng thái và hành động theo chúng bởi một đơn vị thích hợp. Bằng cách giảm mã ổn định tùy ý với các trình tạo mã 'chính tắc' (và cực kỳ buồn tẻ) có nhóm ổn định là $k = n-r$ $\ket{\psi}$ $\ket{\psi}$ $n$ $r$ $\ket{0}$ $r$ $\mathcal Z_{n,r}$ , chúng tôi đã chứng minh không có gì nhiều hơn hoặc ít hơn rằng mã ổn định là mã có mạch mã hóa Clifford. Mô tả mã ổn định theo quỹ đạo của trong nhóm Clifford -qubit không nhiều hơn hoặc ít hơn mô tả mã theo các mạch mã hóa của chúng. Đây là một thực tế tốt để dựa vào, nhưng nhiều kết quả cơ bản hơn là một kết quả sâu sắc. $\mathcal Z_{n,r}$ $n$

Nếu bạn lấy một số mã khác làm mã 'tham chiếu', thì về cơ bản bạn đang làm điều tương tự, ngoại trừ việc đặt trước mạch mã hóa đó bằng một số mạch Clifford khác. Quan điểm này có thể hữu ích hoặc không hữu ích với bạn - đó chắc chắn là một đặc tính cơ bản tốt để nhận biết, khi bạn thảo luận về mã ổn định và trạng thái ổn định với những người khác ít quen thuộc với chúng - nhưng không áp đặt các ràng buộc bổ sung đối với những gì mạch mã hóa hoặc biểu diễn mã mà bạn quan tâm ( ví dụ: để hạn chế tính tự động của mã mà bạn xem xét), tôi đoán là tham số hóa này có thể hữu ích hạn chế. Điểm mấu chốt, cuối cùng, sẽ là thuộc tính của mã ổn định mà bạn quan tâm.

— Niel de Beaudrap
nguồn

Vì vậy, tất cả những gì đang nói là với một nhóm ổn định, tôi có thể có được một hành động đơn nhất Clifford ngẫu nhiên bằng cách chia động từ trên mỗi máy phát điện và lấy một nhóm ổn định khác?

— Amara

Bạn thậm chí không cần bất cứ điều gì tôi đã viết để có được điều đó, thực sự. Điều đó thực sự đúng theo định nghĩa của nhóm Clifford. Những gì tôi chỉ ra là bạn có thể nhận được tất cả các nhóm chất ổn định khác (có cùng số lượng và cùng số lượng qubit với nhóm chất ổn định ban đầu của bạn) theo cách này.

— Niel de Beaudrap