Hình học của ma trận qutrit và Gell-Mann

9

Tôi cần một số nguồn hữu ích về hình học của qutrit. Cụ thể liên quan đến biểu diễn ma trận Gell-Mann.

resource-request qutrit state-space-geometry

— Azadeh Zohrabi
nguồn

4

Xin chào! Bạn đang tìm kiếm thông tin cụ thể nào, về mối quan hệ giữa các ma trận Gell-Mann và hình học của các qutrits? Bạn có sẵn sàng mở rộng câu hỏi của bạn một chút không?

— Niel de Beaudrap

arxiv.org/abs/1501.00054 trang 9. Nếu điều này phù hợp với loại điều bạn đang tìm kiếm, tôi sẽ mở rộng thêm.

— AHusain

5

Có nhiều cách để mô tả một qutrit hoặc một hệ thống cấp chung về mặt hình học. Ngoài ra còn có một lượng lớn tài liệu tham khảo hoặc giải thích những hình học này hoặc áp dụng chúng cho các vấn đề khác nhau trong thông tin lượng tử. Tôi sẽ cố gắng giải thích ở đây một phương pháp hình học khá chung chung, hơi chi tiết. $N$

Phương pháp này là một khái quát của hình cầu Bloch của qubit, tuy nhiên, trường hợp qubit bị suy biến vì hình cầu Bloch mô tả không gian tham số của cả qubit tinh khiết và hỗn hợp (nhưng không phải là trường hợp hỗn hợp tối đa), trong trường hợp chung, hình học của không gian tham số phụ thuộc vào cấu trúc suy biến của các giá trị riêng của ma trận mật độ.

Mô tả được dựa trên công thức diagonalization của ma trận mật độ của một vị tướng ma trận mật độ mức độ: ở đâu là eigenvalue ma trận, mà trong trường hợp tổng quát nhất có dạng: $N$

ρ = U Λ U^{- 1}

$\rho = U \Lambda U^{-1}$

Λ

$\Lambda$

Ma trận

là một

chiều ma trận unita, tức là thuộc

nhóm unita chiều

.

Λ = d i a g (\underset{N_{1} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{1}, λ_{1}, \dots}}, \underset{N_{2} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{2}, λ_{2}, \dots}}, . . . ., \underset{N_{k} t i m e s}{\underset{⏟}{λ_{k}, λ_{k}, \dots}})

$\Lambda = \mathrm{diag}(\underbrace{\lambda_1, \lambda_1, …}_{N_1 \mathrm{times}}, \underbrace{\lambda_2, \lambda_2, …}_{N_2 \mathrm{times}}, ...., \underbrace{\lambda_k, \lambda_k, …}_{N_k \mathrm{times}})$

U

$U$

N

$N$

N

$N$

U (N)

$U(N)$

Tất nhiên, vì chúng ta đang diagonalizing một ma trận mật độ, chúng ta phải có: Kiểm tra vector eigenvalue, chúng ta thấy rằng hành động củama trận đơn vị chungthuộc nhóm con giữ đường chéo ma trận eigenvalue, do đó, không gian của các phép biến đổi đơn vị làm thay đổi ma trận mật độ có thể được xác định bằng không gian coset:

\sum_{i = 1}^{k} N_{i} λ_{i} = 1 a n d λ_{i} \geq 0 f o r a l l i

$\sum_{i=1}^{k}N_i \lambda_i = 1 \space\mathrm{and} \space \lambda_i \ge 0 \space \mathrm{for \space all}\space i$

N_{i}

$N_i$

U (N_{i})

$U(N_i)$

Các không gian trên được gọi là quỹ đạo coadjoint. Tất cả đều thừa nhận tham số rõ ràng trong tọa độ cho phép làm việc thực tế trong các trường hợp cụ thể. Chúng nhỏ gọn, đồng nhất và Kähler, nghĩa là chúng phức tạp tương đối và Riemannian. Chúng được mô tả một cách khá cơ bản trongtác phẩmsau đây của Bernatska và Holod. Xin vui lòng xem cáccông việcsau đâycủa Lợi, Mossa và Zuddas để biết các công thức tham số rõ ràng cho các trường hợp chung.

\frac{U (N)}{U (N_{1}) \times U (N_{2}) \dots \times U (N_{k})}

$\frac {U(N)}{U(N_1) \times U(N_2) … \times U(N_k)}$

Tuy nhiên, ngay cả từ dạng chung của không gian coset, chúng ta có thể trích xuất một số thông tin của không gian tham số, cụ thể là kích thước của nó, trong trường hợp chung: Trong đoạn văn sau, tôi sẽ mô tả chi tiết hơn trường hợp của một trường hợp qutrit thuần túy. Ở đây: Và không gian parametrizing trường hợp đơn qutrit tinh khiết là:

d = N^{2} - \sum_{i} N_{i}^{2}

$d = N^2-\sum_i N_i^2$

Λ = d i a g (1, 0, 0)

$\Lambda = \mathrm{diag}(1, 0, 0)$

Đây là không gian chiếu phức tạp hai chiều, (có kích thước thực là

).

C P^{2} = \frac{U (3)}{U (1) \times U (2)}

$\mathbb{C}P^2 = \frac {U(3)}{U(1) \times U(2)}$

4

$4$

Khá dễ dàng để tham số không gian này vì chúng ta biết rằng chúng ta có thể tham số (gần như) mọi không gian qutrit thuần túy bằng vectơ đơn vị: Tọa độlà tọa độ phức tạp của

v = \frac{1}{\sqrt{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}}} (\begin{matrix} 1 \\ z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

$v = \frac{1}{\sqrt{1+|z_1|^2+|z_2|^2}}\begin{pmatrix}1 \\z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$

(z_{1}, z_{2})

$(z_1, z_2)$

C P^{2}

$\mathbb{C}P^2$

Chúng tôi nhận được parametrization của ma trận mật độ qutrit tinh khiết (đó là một máy chiếu):

ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = v v^{†} = \frac{1}{1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}} (\begin{matrix} 1 & {\bar{z}}_{1} & {\bar{z}}_{2} \\ z_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{1} & z_{1} {\bar{z}}_{2} \\ z_{2} & z_{2} {\bar{z}}_{1} & z_{2} {\bar{z}}_{2} \end{matrix})

$\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = v v^{\dagger} = \frac{1}{1+|z_1|^2+|z_2|^2}\begin{pmatrix}1 &\bar{z}_1 & \bar{z}_2 \\ z_1 &z_1 \bar{z}_1 & z_1 \bar{z}_2 \\ z_2 &z_2 \bar{z}_1 & z_2 \bar{z}_2 \end{pmatrix}$

ω_{α \bar{β}} = t r \partial_{α} ρ {\bar{\partial}}_{β} ρ

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \mathrm{tr}\partial_{\alpha} \rho \bar{\partial}_{\beta} \rho$

ω_{α \bar{β}} = \partial_{α} {\bar{\partial}}_{β} K

$\omega_{\alpha \bar{\beta}} = \partial_{\alpha} \bar{\partial}_{\beta} K$

K = \ln (1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})

$K = \ln(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)$

G_{i}, i = 1, \dots, 8

$\mathbf{G}_i, \space i=1,…,8$

G (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) = t r (ρ (z_{1}, z_{2}, {\bar{z}}_{1}, {\bar{z}}_{2}) G_{i})

$G (z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) = \mathrm{tr}(\rho(z_1, z_2, \bar{z}_1, \bar{z}_2) \mathbf{G}_i)$

$\mathbb{C}P^2$ $\mathfrak{su}(3)$

{G_{i}, G_{j}} = ω^{α \bar{β}} (\partial_{α} G_{i} {\bar{\partial}}_{α} G_{j} - \partial_{α} G_{j} {\bar{\partial}}_{α} G_{i})

$\{G_i, G_j\} = \omega^{\alpha \bar{\beta}} (\partial_{\alpha} G_i \bar{\partial}_{\alpha} G_j - \partial_{\alpha} G_j\bar{\partial}_{\alpha} G_i )$

$\omega$

Công thức của qutrit này cho phép nhiều ứng dụng trong lý thuyết thông tin lượng tử, ví dụ, xem Hughston và Salamon , nơi họ xây dựng SIC-POVM bằng cách sử dụng tham số này.

A_{α} = (\partial_{α} - {\bar{\partial}}_{α}) K

$A_{\alpha} = (\partial_{\alpha} - \bar{\partial}_{\alpha })K$

$\mathbb{C}P^N$

$\mathbb{C}P^2$

g_{α \bar{β}} = \frac{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2}) δ_{α β} - z_{α} \bar{z_{β}}}{(1 + | z_{1} |^{2} + | z_{2} |^{2})^{2}}

$g_{\alpha \bar{\beta}}= \frac{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)\delta_{\alpha \beta}-z_{\alpha} \bar{z_{\beta}} }{(1 + |z_1|^2 +|z_2|^2)^2}$

— David Bar Moshe
nguồn

ω_{K K S}

$\omega_{KKS}$

1

@AHusain Cảm ơn bạn đã tham khảo! và cảm ơn bạn đã đề cập đến mối quan hệ của số liệu với ma trận thông tin Fisher. Trên thực tế, phương trình đầu tiên ở trên cho dạng KKS giống hệt với phương trình trong Dự luật II.2 của chúng. , thể hiện ở tọa độ phức tạp. Như tôi đã đề cập, các tác giả này không sử dụng cùng một tham số phức tạp. Họ thích làm việc trên không gian tiếp tuyến. Điều này là có thể vì đa tạp là đồng nhất, tuy nhiên rất khó để đánh giá các đại lượng hình học toàn cầu tham số của chúng như thể tích của không gian trạng thái là gì.

— David Bar Moshe

1

Vâng, thật khó. Sự đa dạng tương tự với cấu trúc thông tin Fisher thay vì cấu trúc Kahler xấu hơn nhiều. Các tác giả của bài báo đó và tôi đã thử xem sự khác biệt giữa các giai đoạn Berry của hai cấu trúc, nhưng không có gì đẹp.

— AHusain

3

I need some useful sources about the geometry of qutrit.

Tài nguyên hữu ích nhất mà tôi biết trên hình học của các qutrits là Hình học giấy của hình cầu Bloch tổng quát cho các qutrits .

Specifically related to the Gell-Mann matrix representation.

Tám ma trận Gell-Mann, tạo thành một trong những khái quát của ma trận Pauli cho các hệ thống 3 cấp độ, có liên quan đến cái mà đôi khi được gọi là "đại diện Bloch của một qutrit". Điều này được mô tả trên Trang 4 của bài báo được liên kết ở trên.

Nếu bạn quan tâm đến toán học của hình học của các qutrits, tài nguyên trên có lẽ là tốt nhất có sẵn. Nếu bạn quan tâm nhiều hơn đến việc trực quan hóa các qutrits, thì hình ảnh ba chiều của một qutrit là tài nguyên tốt nhất mà tôi biết. Hãy nhớ rằng việc khái quát hóa hình cầu Bloch cho các quẻ có chiều cao hơn sẽ không bao giờ đơn giản và thanh lịch như hình cầu Bloch dành cho hệ thống 2 cấp, giống như các siêu cầu 4D không dễ hình dung như hình cầu 3D.

— người dùng 1271772
nguồn