Quả cầu Bloch có thể được khái quát thành hai qubit không?

Quả cầu Bloch là một hình ảnh đẹp của các trạng thái qubit đơn. Về mặt toán học, nó có thể được khái quát hóa cho bất kỳ số lượng qubit nào bằng phương pháp siêu phẳng chiều cao. Nhưng những điều như vậy không dễ để hình dung.

Những nỗ lực nào đã được thực hiện để mở rộng trực quan hóa dựa trên hình cầu Bloch đến hai qubit?

Đối với các trạng thái thuần túy, có một cách hợp lý đơn giản để tạo ra một "khối cầu 2 qubit" . Về cơ bản, bạn sử dụng phân tách Schmidt để chia trạng thái của bạn thành hai trường hợp: không vướng víu và vướng mắc hoàn toàn. Đối với phần không vướng víu, bạn chỉ cần sử dụng hai quả cầu bloch. Và sau đó, phần vướng víu là đẳng cấu với tập hợp các phép quay có thể có trong không gian 3d (xoay là cách bạn dịch các phép đo trên một qubit thành dự đoán trên qubit khác). Điều này cung cấp cho bạn một đại diện với tám tham số thực:

1) Giá trị thực w trong khoảng từ 0 đến 1 cho biết trọng số của không vướng víu so với vướng mắc hoàn toàn.

2 + 3) Vectơ đơn vị không vướng víu cho qubit 1.

4 + 5) Vectơ đơn vị không vướng víu cho qubit 2.

6 + 7 + 8) Vòng xoay vướng hoàn toàn.

Đây là giao diện của nó nếu bạn hiển thị phần xoay là "nơi các trục XY và Z được ánh xạ" và thêm tỷ lệ các trục theo w để nó càng lớn thì bạn càng bị vướng víu:

(Việc nảy ở giữa là do sự suy biến số trong mã của tôi.)

Đối với các trạng thái hỗn hợp, tôi đã có một chút thành công khi hiển thị đường bao của các vectơ bloch được dự đoán cho qubit 2 với mọi phép đo qubit 1. Có thể như thế này:

Nhưng lưu ý rằng a) đại diện 'phong bì' này không đối xứng (một trong những qubit là điều khiển và cái còn lại là mục tiêu) và b) mặc dù trông khá đẹp, nó không nhỏ gọn về mặt đại số.

Màn hình này có sẵn trong nhánh hiển thị dev-vướng víu của Quirk. Nếu bạn có thể làm theo hướng dẫn xây dựng, thì bạn có thể chơi trực tiếp với nó.

$j$$SU(2)$$2j+1$$j$$SU(2)$$SU(2)$$SU(2)$ không gian đại diện cơ bản.

$2j+1$$2j$$2j$$2j$

$2j+1$

(The parametrization is by means of the stereographic projection coordinate $z = \tan \theta e^{i\phi}$ ($\theta$, $\phi$ are the spherical coordinates))

One application of this representation to quantum computation, is in the visualization of the trajectories giving rise to geometric phases, which serve as the gates in holonomic quantum computation. These trajectories are reflected as trajectories of the Majorana stars on the Bloch spheres and the geometric phases can be computed from the solid angles enclosed by these trajectories. Please see Liu and Fu's work on Abelian geometric phases. A treatment of some non-Abelian cases is given by Liu Roy and Stone.

Finally, let me remark that there are many geometric representations relevant to quantum computation, but they are multidimensional and may be not useful in general as visualization tools. Please see for example Bernatska and Holod treating coadjoint orbits which can serve as phase spaces of the finite dimensional Hilbert spaces used in quantum computation. The Grassmannian which parametrizes the ground state manifold of adiabatic quantum Hamiltonians is a particular example of these spaces.

For more than 1-qubit visualization, we will need more complex visualizations than a Bloch sphere. The below answer from Physics Stack Exchange explains this concept quite authoritatively:

Bloch sphere for 2 and more qubits

In another article, the two qubit representation is described as a seven-dimensional sphere, S 7, which also allows for a Hopf fibration, with S 3 fibres and a S 4 base. The most striking result is that suitably oriented S 7 Hopf fibrations are entanglement sensitive.

Geometry of entangled states, Bloch spheres and Hopf fibrations

Having said that, a Bloch sphere based approach is quite useful even to model the behavior of qubits in a noisy environment. There has been analysis of the two-qubit system by use of the generalized Bloch vector to generate tractable analytic equations for the dynamics of the four-level Bloch vectors. This is based on the application of geometrical concepts from the well-known two-level Bloch sphere.

We can find that in the presence of correlated or anti-correlated noise, the rate of decoherence is very sensitive to the initial two-qubit state, as well as to the symmetry of the Hamiltonian. In the absence of symmetry in the Hamiltonian, correlations only weakly impact the decoherence rate:

Bloch-sphere approach to correlated noise in coupled qubits

There is another interesting research article on the representation of the two-qubit pure state parameterized by three unit 2-spheres and a phase factor.For separable states, two of the three unit spheres are the Bloch spheres of each qubit with coordinates (A,A) and (B,B). The third sphere parameterises the degree and phase of concurrence, an entanglement measure.

This sphere may be considered a ‘variable’ complex imaginary unit t where the stereographic projection maps the qubit-A Bloch sphere to a complex plane with this variable imaginary unit. This Bloch sphere model gives a consistent description of the two-qubit pure states for both separable and entangled states.

As per this hypothesis, the third sphere (entanglement sphere) parameterizes the nonlocal properties, entanglement and a nonlocal relative phase, while the local relative phases are parameterized by the azimuthal angles, A and B, of the two quasi-Bloch spheres.

Bloch sphere model for two

We have some multiqubit visualizations within Q-CTRL's Black Opal package.

Tất cả đều tương tác đầy đủ và được thiết kế để giúp xây dựng trực giác về mối tương quan trong việc tương tác các hệ thống hai qubit.

Hai quả cầu Bloch đại diện cho các trạng thái có thể tách rời có liên quan của hai qubit. Các tứ diện ở giữa nắm bắt trực quan mối tương quan giữa các hình chiếu nhất định của hai qubit. Khi không có sự vướng víu, các vectơ Bloch sống hoàn toàn trên các bề mặt của các quả cầu tương ứng. Tuy nhiên, một trạng thái vướng mắc hoàn toàn chỉ sống trong không gian tương quan trong đại diện này. Điểm cực của các không gian này sẽ luôn luôn là các trạng thái vướng mắc tối đa như các trạng thái Bell, nhưng các trạng thái vướng mắc tối đa cũng có thể cư trú trong nhiều tứ diện đồng thời.

Một bài báo đã được xuất bản về chủ đề này, được gọi là "Mô hình hình cầu Bloch cho trạng thái tinh khiết hai qubit"

https://arxiv.org/abs/1403.8069