Sự đồng hình giữa nhóm Clifford và các nhóm tứ

Làm thế nào để tôi tìm thấy một sự đồng hình rõ ràng giữa các yếu tố của nhóm Clifford và một số 24 bậc bốn?

Phần dễ: Phép nhân của ma trận nên tương ứng với phép nhân bậc bốn.

Ma trận danh tính $I$ nên được ánh xạ tới tứ phân vị $1$ .

Phần khó: Các yếu tố khác của nhóm Clifford nên được ánh xạ? Vì các yếu tố sau đây tạo ra toàn bộ nhóm, ánh xạ này sẽ là đủ:

Ai có thể giúp đỡ?

Các quaternion được đại diện một cách trung thực theo hai chiều của ma trận đơn vị và các ma trận Pauli nhân với đơn vị ảo: $i = \sqrt{-1} X$,$j = \sqrt{-1} Y$và$k = \sqrt{-1} Z$tương ứng, do đó bạn chỉ cần phải viết$H$và$P$kết hợp tuyến tính:$H = -\frac{\sqrt{-1} }{\sqrt{2}}(i+k)$và$P = \frac{1+\sqrt{-1}}{2}(1-k)$

Tuy nhiên, đây không phải là sự đồng hình giữa nhóm Clifford và các nhóm bậc bốn, bởi vì ở đây chúng ta sử dụng các bậc bốn như một đại số không phải là một nhóm. Những gì có thể nói rằng nhóm Clifford là đẳng cấu với một nhóm các yếu tố khả nghịch của đại số bậc bốn.

Thuật ngữ nhóm Đệ tứ được dành cho một nhóm nhỏ khác của các phần tử khả nghịch của đại số bậc bốn bao gồm $\pm 1$ , $\pm (-iX = R_x(\pi))$ , $\pm (-iY = R_y(\pi))$ và $\pm (-iZ = R_z(\pi))$ . Nhóm này được gọi là nhóm tứ phương. Nhóm này có thể được tạo bởi $\pi$xoay quanh hai trục chính. Tuy nhiên, nhóm bậc bốn thứ tự 8 không phải là đẳng cấu với nhóm Clifford thứ 24, có thể được tạo bởi $\frac{\pi}{2}$ vòng quay quanh hai trục chính. Nhóm Clifford theo một nghĩa nào đó là căn bậc hai của nhóm bậc bốn.

Làm rõ

@Knot Đăng nhập, Xin lỗi tôi đã đánh lừa bạn về hai điểm:

1) Các quaternion đơn vị ảo nên được biểu diễn dưới dạng $i = \sqrt{-1} X$,$j = \sqrt{-1} Y$,$k = \sqrt{-1} Z$, vì chúng phải vuông thành$-1$(Tôi đã sửa nó trong văn bản chính).

2) Tôi quên đề cập đến mà chúng ta cần phải làm việc với các đại số quaternion trên lĩnh vực phức tạp, ví dụ, chúng ta cần phải phân biệt giữa các đơn vị ảo phức tạp $\sqrt{-1}$ và câu hỏi thứ$i$, (Tôi hy vọng bạn đã quan tâm đến điều đó trong phân tích của mình - trong mọi trường hợp tôi đã thêm các biểu thức rõ ràng của$H$và$P$vào văn bản chính. Ngoài ra, đúng là các pha toàn cầu không quan trọng khi bạn sử dụng các phần tử làm cổng lượng tử và bạn đã lấy đúng các lớp tương đương.

Tuy nhiên, vui lòng xem bài viết của Michel Planat , trong phần 2.2. anh ta đề cập rằng nhóm do $H$ và $P$ tạo ra phải theo thứ tự 192, như vậy chỉ khi bạn xóa trung tâm $\mathbb{Z}_8$ bạn mới tiếp cận được nhóm Clifford 24 phần tử (tôi chưa tự mình thực hiện công việc).

Hơn nữa, có thể tạo nhóm $24$ phần tử trực tiếp mà không cần các giai đoạn bổ sung (Vui lòng xem ghi chú bài giảng của Michel Devoret nếu bạn bắt đầu với trình tạo định thức đơn vị (ví dụ: $R_x(\frac{\pi}{2})$và $R_z(\frac{\pi}{2})$), bởi vì nhóm Clifford là hình học, vì nó đồng hình vớinhóm bát diện, nhóm đối xứng của khối lập phương hoặc khối bát diện và tất cả các yếu tố của nó là phép quay, tức là, với một định thức đơn vị.