Xấp xỉ ma trận đơn vị

10

Tôi hiện có 2 ma trận đơn nhất mà tôi muốn xấp xỉ với độ chính xác tốt với các cổng lượng tử ít hơn có thể.

Trong trường hợp của tôi, hai ma trận là:

Căn bậc hai của cổng NOT (tối đa pha toàn cầu) $G = \frac{- 1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} i & 1 \\ 1 & i \end{matrix}) = e^{- \frac{3}{4} π} \sqrt{X}$ $G = \frac{-1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix} = e^{-\frac{3}{4}\pi} \sqrt{X}$
$W = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $W = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0&0&1 \\ \end{pmatrix}$

Câu hỏi của tôi là như sau:

Làm thế nào tôi có thể xấp xỉ các ma trận cụ thể này với các cổng lượng tử ít hơn có thể và độ chính xác tốt?

Những gì tôi muốn có một khả năng có thể có nó:

Tôi có thể đủ khả năng sử dụng vài ngày / tuần thời gian CPU và rất nhiều RAM.
Tôi có thể đủ khả năng dành 1 hoặc 2 ngày của con người để tìm kiếm các thủ thuật toán học (trong phương sách cuối cùng, đó là lý do tại sao tôi hỏi ở đây trước). Lần này không bao gồm thời gian tôi sẽ cần để thực hiện các thuật toán giả định được sử dụng cho điểm đầu tiên.
Tôi muốn sự phân hủy gần như chính xác. Hiện tại tôi không có độ chính xác mục tiêu, nhưng 2 cổng ở trên được sử dụng rộng rãi bởi mạch của tôi và tôi không muốn lỗi tích lũy quá nhiều.
Tôi muốn phân tách sử dụng các cổng lượng tử ít nhất có thể. Điểm này là thứ yếu cho thời điểm này.
Một phương pháp tốt sẽ cho phép tôi chọn sự đánh đổi mà tôi muốn giữa số lượng cổng lượng tử và độ chính xác của phép tính gần đúng. Nếu điều này là không thể, thì độ chính xác ít nhất là $10^{-6}$ (về chỉ tiêu theo dõi) có lẽ (như đã nói trước đây, tôi không có ước tính nên tôi không chắc chắn về ngưỡng này).
Tập cổng là: ${H, X, Y, Z, R_{ϕ}, S, T, R_{x}, R_{y}, R_{z}, CX, SWAP, iSWAP, \sqrt{SWAP}}$ $\left\{ H, X, Y, Z, R_\phi, S, T, R_x, R_y, R_z, \text{CX}, \text{SWAP}, \text{iSWAP}, \sqrt{\text{SWAP}} \right\}$ với $R_\phi, \text{SWAP}, \sqrt{\text{SWAP}}$ như được mô tả trongWikipédia, $R_A$ phép quay đối với rìu $A$ ( $A$ là $X$ , $Y$ hoặc $Z$ ) và $iSWAP = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ $\text{iSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$ .

Các phương pháp tôi biết về:

Thuật toán Solovay-Kitaev. Tôi có một triển khai thuật toán này và đã thử nghiệm nó trên một số ma trận đơn nhất. Thuật toán tạo ra các chuỗi khá dài và sự đánh đổi [số lượng cổng lượng tử] VS [độ chính xác của phép tính gần đúng] là không đủ tham số. Tuy nhiên, tôi sẽ thực hiện thuật toán trên các cổng này và chỉnh sửa câu hỏi này với kết quả tôi thu được.
Hai bài báo về xấp xỉ cổng 1 qubit và xấp xỉ cổng n-qubit . Tôi cũng cần phải kiểm tra các thuật toán này.

EDIT: chỉnh sửa câu hỏi để làm cho "căn bậc hai không" rõ ràng hơn.

quantum-gate gate-synthesis solovay-kitaev-algorithm

— Nensonee
nguồn

G

$G$

1

Đã chỉnh sửa để chính xác bộ cổng mà tôi có trong tâm trí :)

— Nensonee 27/12/18

Có vẻ như W có thể được thực hiện với sqrt bên phải (SWAP) + một cổng CNOT + qubit đơn.

— Norbert Schuch

Tôi tò mò về những gì bạn đang cố gắng làm với điều này, nếu bạn không bận tâm đến việc xây dựng.

— psitae

Hai cổng này xuất hiện trong các mạch lượng tử để mô phỏng người Hamilton rất đơn giản (hamilton 1 thưa thớt chỉ có mục thực hoặc chỉ mục nhập tưởng tượng). Luận án xây dựng về điều này là khá khó để có được. Cách duy nhất tôi tìm thấy là yêu cầu một bản sao ở đây và chờ câu trả lời trên hộp thư của bạn :)

— Nensonee 31/12/18

8

Bạn đã chọn hai ma trận đặc biệt đơn giản để thực hiện.

Hoạt động đầu tiên (G) chỉ là căn bậc hai của cổng X (lên đến giai đoạn toàn cầu):

$R_X(\pi/2)$

Hoạt động thứ hai (W) là ma trận Hadamard trong khối 2x2 ở giữa của ma trận nhận dạng khác. Bất cứ khi nào bạn nhìn thấy mô hình 2x2 ở giữa này, bạn nên nghĩ rằng "hoạt động được kiểm soát kết hợp bởi CNOTs". Và đó chính xác là những gì hoạt động ở đây (lưu ý: bạn có thể cần trao đổi các dòng; phụ thuộc vào quy ước về tuổi thọ của bạn):

Vì vậy, rắc rối thực sự duy nhất là làm thế nào để thực hiện một hoạt động Hadamard được kiểm soát. Hadamard là góc quay 180 độ quanh trục X + Z. Bạn có thể sử dụng xoay 45 độ quanh trục Y để di chuyển trục X + Z sang trục X, sau đó thực hiện CNOT thay cho CH, sau đó di chuyển trục quay lại:

$Y^{1/4} \equiv R_Y(\pi/4)$

— Craig Gidney
nguồn

5

$W$ $W \in O(4)$ $CNOTs$

Việc xây dựng là tối ưu theo nghĩa là nó yêu cầu hai cổng CNOT và nhiều nhất là 12 cổng qubit đơn (đối với trường hợp chung nhất của cổng hai qubit thực). Việc xây dựng dựa trên sự đồng hình:

S O (4) \approx S U (2) \times S U (2),

$SO(4) \approx SU(2) \times SU(2),$

W

$W$

W = M U M^{†}

$W = M U M^{\dagger}$

U \in S U (2) \otimes S U (2)

$U\in SU(2) \otimes SU(2)$

$M$ $M$

Sử dụng cấu trúc này, việc thực hiện cổng đầy đủ do Vatan và Williams đưa ra là:

$S_1 = S_z(\frac{\pi}{2})$ $R_1 = S_y(\frac{\pi}{2})$

$A$ $B$

— David Bar Moshe
nguồn

4

Cả hai cổng này đều yêu cầu trình tự gần đúng. Bạn có thể thực hiện chúng chính xác với các bộ cổng được chỉ định mà không cần nỗ lực nhiều.

$HSH$

$W$

$U=\cos\frac{\pi}{8}\mathbb{I}-i\sin\frac{\pi}{8}Y$ $R_Y(\theta)$

— DaftWullie
nguồn