Chính xác thì tiếng ồn có nghĩa là gì trong bối cảnh sau đây?

Phiên bản được củng cố của luận án Church-Turing nói rằng:

Bất kỳ quy trình thuật toán nào cũng có thể được mô phỏng hiệu quả bằng máy Turing.

Bây giờ, trên trang 5 (chương 1), cuốn sách Tính toán lượng tử và Thông tin lượng tử: Phiên bản kỷ niệm 10 năm của Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang tiếp tục nói rằng:

Một lớp thách thức đối với luận điểm mạnh mẽ của Church Turing đến từ lĩnh vực tính toán tương tự . Trong những năm kể từ Turing, nhiều nhóm nghiên cứu khác nhau đã nhận thấy rằng một số loại máy tính tương tự có thể giải quyết hiệu quả các vấn đề được cho là không có giải pháp hiệu quả trên máy Turing. Thoạt nhìn, các máy tính tương tự này dường như vi phạm hình thức mạnh mẽ của luận án Church-Turing. Thật không may cho tính toán tương tự, hóa ra khi các giả định thực tế về sự hiện diện của nhiễu trong các máy tính tương tự được tạo ra, sức mạnh của chúng biến mất trong tất cả các trường hợp đã biết; họ không thể giải quyết hiệu quả các vấn đề không thể giải quyết được trên máy Turing. Bài học này - rằng những ảnh hưởng của tiếng ồn thực tếphải được tính đến khi đánh giá hiệu quả của mô hình tính toán - là một trong những thách thức ban đầu lớn của tính toán lượng tử và thông tin lượng tử, một thách thức được đáp ứng thành công bởi lý thuyết về mã sửa lỗi lượng tử và tính toán lượng tử chịu lỗi . Do đó, không giống như tính toán tương tự, về nguyên tắc tính toán lượng tử có thể chịu được một lượng nhiễu hữu hạn và vẫn giữ được các lợi thế tính toán của nó.

Chính xác những gì có nghĩa là tiếng ồn trong bối cảnh này? Họ có nghĩa là tiếng ồn nhiệt ? Thật kỳ lạ khi các tác giả đã không định nghĩa hoặc làm rõ ý nghĩa của tiếng ồn trong các trang trước của sách giáo khoa.

Tôi đã tự hỏi nếu họ đang đề cập đến tiếng ồn trong một khung cảnh tổng quát hơn. Giống như, ngay cả khi chúng ta thoát khỏi tiếng ồn thông thường - như công nghiệp tiếng ồn , rung động tiếng ồn , nhiệt tiếng ồn (hoặc giảm chúng đến mức không đáng kể), tiếng ồn có thể vẫn tham khảo các bất ổn trong biên độ, pha, vv, mà phát sinh do cơ bản bản chất cơ học lượng tử của hệ thống.

Ngoài câu trả lời của Nat , điều đáng nói là 'tiếng ồn' là một khái niệm cụ thể ¹ trong điện toán lượng tử. Câu trả lời này sẽ sử dụng các ghi chú bài giảng của Preskill làm cơ sở.

Về bản chất, tiếng ồn thực sự được coi là một thứ có thể được mô tả là "tiếng ồn nhiệt", mặc dù cần lưu ý rằng đó là sự tương tác với môi trường nhiệt gây ra tiếng ồn, trái ngược với tiếng ồn của chính nó. Các phép tính gần đúng được thực hiện có nghĩa là tiếng ồn này có thể được mô tả bằng các kênh lượng tử, đó là điều mà Nielsen & Chuang dường như đang đề cập đến, khi họ thảo luận về điều này trong chương 8.3 của chính sách giáo khoa đó. Các loại tiếng ồn phổ biến nhất được mô tả theo cách này là: khử cực, khử nhiễu và giảm biên độ, sẽ được giải thích rất ngắn gọn dưới đây.

Trong một chi tiết hơn chút ²

Bắt đầu với một hệ thống với không gian Hilbert $\mathcal{H}_S$ , kết hợp với bồn tắm (nhiệt) với không gian Hilbert $\mathcal{H}_B$ .

Lấy ma trận mật độ của hệ thống và 'khóa hạt' nó thành các khối $\rho\left(t + n\,\delta t\right)$ . Giả định rằng sự tương tác là Markovian, nghĩa là môi trường 'quên' nhanh hơn nhiều so với thời gian phân loại hạt thô và rằng bất cứ điều gì bạn đang cố gắng quan sát xảy ra trong một thời gian dài hơn nhiều so với thời gian phân loại thô.

Biểu thị ma trận mật độ tại $t+\delta t$ dưới dạng kênh tác động lên ma trận mật độ tại thời điểm $t$ : $\rho\left(t + \delta t\right) = \varepsilon_{\delta t}\left(\rho\left(t\right)\right)$ .

Mở rộng này để đặt hàng đầu tiên trong $\delta t$ để get $\varepsilon_{\delta t} = \mathrm{I} + \delta t\,\mathcal{L}$ . Là một kênh, nó phải là hoàn toàn tích cực và dấu vết bảo quản, vì vậy$\varepsilon_{\delta t}\left(\rho\left(t\right)\right) = \sum_aM_a\rho\left(t\right)M_a^\dagger$ và thỏa mãn$\sum_aM_a^\dagger M_a = \mathrm{I}$ .

Điều này cho phép một kênh lượng tử không đồng nhất được mô tả bởi các Lindblad Thạc sĩ phương trình

$$\dot\rho = -i\left[H, \rho\right] + \sum_{a>0} \gamma_a\left(L_a\rho L_a^\dagger - \frac{1}{2}\lbrace L^\dagger_aL_a, \rho\rbrace\right),$$ nơi$\gamma_a$'s luôn tích cực cho sự phát triển Markovian.

Điều này cũng có thể được viết là $H_{\mathrm{eff}} = H - \frac{i}{2}\sum_a\gamma_aL_a^{\dagger}L_a$, với một khoản bổ sung, chẳng hạn rằng sự tiến hóa có thể được viết như

$$\dot\rho = -i\left[H_{\text{eff}}, \rho\right] + \sum_{a>0} \gamma_aL_a\rho L_a^\dagger.$$

Điều này bây giờ trông tương đương với đại diện điều hành Kraus của một kênh, với những hoạt động Kraus $K_a \propto L_a$ (cũng như một nhà điều hành Kraus thêm để đáp ứng $\left[H_{\text{eff}}, \rho\right]$ ). Bất kỳ Lindbladian không tầm thường sau đó có thể được mô tả là tiếng ồn, mặc dù trong thực tế, đó là một sự gần đúng về sự tiến hóa của một hệ thống mở.

Một số loại tiếng ồn phổ biến ³

Thử các dạng khác nhau của $L_a$ đưa ra các hành vi khác nhau của hệ thống, tạo ra các tiếng ồn khác nhau có thể có, trong đó có một vài dạng phổ biến (trong trường hợp qubit duy nhất, dù sao):

1. Mất pha : làm cho hệ thống decohere - điều này giúp loại bỏ / làm giảm rối (tức là sự gắn kết) của hệ thống, nhất thiết làm cho nó hỗn hợp hơn, trừ khi đã tối đa hỗn hợp

   $$\varepsilon\left(\rho\right) = \left(1-\frac{p}{2}\right)\rho + \frac{1}{2}\sigma_z\rho\sigma_z$$

2. Khử cực : Khi đo, một chút lật ( $\sigma_x$ ), giai đoạn lật ($\sigma_z$ ), hoặc cả hai bit và giai đoạn ($\sigma_y$ ) sẽ xảy ra với một số khả năng

   $$\varepsilon\left(\rho\right) = \left(1-p\right)\rho + \frac{p}{3}\left(\sigma_x\rho\sigma_x + \sigma_y\rho\sigma_y + \sigma_z\rho\sigma_z\right)$$

3. Biên độ giảm chấn : Đại diện cho hệ thống phân rã từ $\lvert 1\rangle$ đến $\lvert 0\rangle$ , chẳng hạn như khi một nguyên tử phát ra một photon. Dẫn đến một phiên bản đơn giản của thời gian kết hợp $T_1$ (phân rã của $\lvert 1\rangle$ để$\lvert 0\rangle$ ) và$T_2$ (phân rã của các điều khoản off-đường chéo). Được mô tả bởi các nhà khai thác Kraus

   $$M_0 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p}\end{pmatrix} \text{ and } M_1 = \begin{pmatrix}0 & \sqrt{p} \\ 0 & 0\end{pmatrix},$$ cho $$\varepsilon\left(\rho\right) = M_0\rho M_0^\dagger + M_1\rho M_1^\dagger$$

---

^{1 Hay đúng hơn, một số khái niệm rất rộng xuất phát từ cùng một ý tưởng cơ bản}

^{2 Tôi sẽ không đi xung quanh gọi điều này nghiêm ngặt hoặc bất cứ điều gì}

^{3 Trong bối cảnh này, tự nhiên}

Thật không may cho tính toán tương tự, hóa ra khi các giả định thực tế về sự hiện diện của nhiễu trong các máy tính tương tự được tạo ra, sức mạnh của chúng biến mất trong tất cả các trường hợp đã biết; họ không thể giải quyết hiệu quả các vấn đề không thể giải quyết được trên máy Turing.

" Nhiễu " dường như được sử dụng theo nghĩa chung là không lý tưởng trong tín hiệu:

Trong xử lý tín hiệu , nhiễu là một thuật ngữ chung cho các sửa đổi không mong muốn (và nói chung, không xác định) mà tín hiệu có thể bị ảnh hưởng trong quá trình thu, lưu trữ, truyền, xử lý hoặc chuyển đổi. ^[1]

Đôi khi từ này cũng được sử dụng để chỉ các tín hiệu ngẫu nhiên (không thể đoán trước) và không mang thông tin hữu ích; ngay cả khi chúng không can thiệp vào các tín hiệu khác hoặc có thể được đưa vào có chủ ý, như trong tiếng ồn thoải mái .

- "Nhiễu (xử lý tín hiệu)" , Wikipedia

Để biết ví dụ về những gì họ đang nói, hãy xem xét một mạch đơn giản:

$$\require{enclose} \def\place#1#2#3{\smash{\rlap{\hskip{#1pt}\raise{#2pt}{#3}}}} % \bbox[10pt]{\enclose{box}{\phantom{\Rule{250pt}{75pt}{0pt}}}} % \place{-275}{70}{\enclose{box}{\bbox[5pt,lightblue]{ \begin{array}{c} \text{resistor} \\ \text{set resistance:}~R \end{array} }}} % \place{-270}{0}{ \enclose{box}{\bbox[5pt,lightblue]{ \begin{array}{c} \text{power source} \\ \text{set voltage:}~V \end{array} }}} % \place{-55}{30}{ \enclose{box}{\bbox[5pt,lightblue]{ \begin{array}{c} \text{current meter} \\ \text{measured current:}~I \end{array} }}}$$

Vì chúng ta có thể chọn cả $V$$R$$I=\frac{V}{R}$

1. $\frac{a}{b}=?$

2. $V=a~\mathrm{V}$

3. Đặt điện trở thành $R=b~\mathrm{\Omega}$

4. Đo lường $I=?~\mathrm{A}$

Đây là một máy tính tương tự đơn giản có thể chia số mà không cần chúng ta thực hiện phép toán theo một cách khác, ví dụ logic kỹ thuật số.

Nhưng những gì thực sự mát mẻ về điều này? Nếu chúng ta ngây thơ, chúng ta có thể tin rằng nó có thể tính toán thực sự :

Trong lý thuyết tính toán , lý thuyết về tính toán thực liên quan đến các máy tính giả thuyết sử dụng các số thực có độ chính xác vô hạn. Họ được đặt tên này bởi vì họ hoạt động trên tập hợp các số thực . Trong lý thuyết này, có thể chứng minh các tuyên bố thú vị như "Phần bổ sung của bộ Mandelbrot chỉ có thể quyết định được một phần".

Những máy tính giả định này có thể được xem là máy tính tương tự lý tưởng hóa hoạt động trên số thực, trong khi máy tính kỹ thuật số bị giới hạn ở số tính toán .

- "Tính toán thực" , Wikipedia

Điều mà luật Ohm sử dụng các giá trị số thực, $\left\{V,I,R\right\}{\in}\mathbb{R}$

Dù sao, trở lại với trích dẫn ban đầu:

Thật không may cho tính toán tương tự, hóa ra khi các giả định thực tế về sự hiện diện của nhiễu trong các máy tính tương tự được tạo ra, sức mạnh của chúng biến mất trong tất cả các trường hợp đã biết; họ không thể giải quyết hiệu quả các vấn đề không thể giải quyết được trên máy Turing.

Về cơ bản, họ nói rằng, bất cứ khi nào ai đó đưa ra một sơ đồ như thế này, thì những điều phi lý tưởng của tình huống (nhiễu trong tín hiệu, thiết kế, v.v.) có xu hướng làm hỏng những kỳ vọng lý tưởng.

Đoạn trích được trích dẫn dường như sử dụng điều này như một điểm xuất phát để thảo luận về việc máy tính lượng tử không bị giới hạn bởi vấn đề này như các máy tính tương tự cổ điển dường như thường có.

Yêu cầu tác giả làm rõ sẽ cho bạn câu trả lời chính xác mà bạn đang tìm kiếm. Tuy nhiên, dựa trên bối cảnh được cung cấp, tôi tin rằng điều này có thể liên quan đến vấn đề quang phổ nhiễu lượng tử có .

Tiếng ồn

Theo một nhóm các nhà nghiên cứu của Đại học Dartmouth do Giáo sư Lorenza Viola dẫn đầu,

Các tính chất lượng tử này rất cần thiết cho điện toán lượng tử, nhưng chúng dễ dàng bị mất qua sự trang trí, khi các hệ lượng tử chịu "nhiễu" trong môi trường bên ngoài.

Các tính chất lượng tử mà cô đang đề cập cũng là các thuộc tính hệ lượng tử như khả năng ở trạng thái chồng chất của hai trạng thái khác nhau đồng thời như đã nêu trong cùng một bài viết .

Kết luận của tôi

Do đó, dựa trên cả bối cảnh được cung cấp trong câu hỏi và bối cảnh được cung cấp bởi nhóm các nhà nghiên cứu của Dartmouth, tôi sẽ kết luận rằng tiếng ồn mà cuốn sách đề cập đến là tiếng ồn môi trường .