Làm thế nào để ký hiệu bra-ket hoạt động?

29

Các thuật toán lượng tử thường sử dụng ký hiệu bra-ket trong mô tả của chúng. Tất cả các dấu ngoặc và đường thẳng đứng này có ý nghĩa gì? Ví dụ: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Trong khi đây có thể là một câu hỏi về toán học, loại ký hiệu này dường như được sử dụng thường xuyên khi xử lý tính toán lượng tử một cách cụ thể. Tôi không chắc chắn tôi đã từng thấy nó được sử dụng trong bất kỳ bối cảnh nào khác.

Chỉnh sửa

Ở phần cuối, tôi muốn nói rằng có thể biểu thị các vectơ và các sản phẩm bên trong bằng cách sử dụng ký hiệu chuẩn cho đại số tuyến tính và một số trường khác sử dụng các đối tượng và toán tử này làm như vậy mà không cần sử dụng ký hiệu bra-ket.

Điều này dẫn đến kết luận rằng có một số khác biệt / lý do tại sao bra-ket đặc biệt tiện dụng để biểu thị các thuật toán lượng tử. Nó không phải là một sự khẳng định của thực tế, tôi có nghĩa nó là một quan sát. "Tôi không chắc là tôi đã thấy nó được sử dụng ở nơi khác" không phải là câu tương tự như "Nó không được sử dụng trong bất kỳ bối cảnh nào khác".

notation

— Hoa hồng Ella
nguồn

3

Liên quan: Cách ký hiệu

T E X

$\TeX$ bra-ket trên Meta.

— Nat

18

Như đã được giải thích bởi những người khác, một ket chỉ là một vectơ. Một chiếc áo ngựclà liên hợp Hermiti của vectơ. Bạn có thể nhân một vectơ với một số theo cách thông thường. $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Bây giờ đến phần thú vị: Bạn có thể viết sản phẩm vô hướng của hai vectơ và là . $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

Bạn có thể áp dụng toán tử cho vectơ (trong các kích thước hữu hạn, đây chỉ là phép nhân ma trận) . $X\left|\psi\right>$

Nói chung, ký hiệu rất tiện dụng và trực quan. Để biết thêm thông tin, hãy xem bài viết Wikipedia hoặc sách giáo khoa về Cơ học lượng tử.

— jknappen - Tái lập Monica
nguồn

"áo ngực là một liên hợp Hermiti." Một liên hợp Hermiti của một vectơ là gì? Và chỉ là sản phẩm bên trong của vectơ và ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— ngôn

Có hai loại vectơ, vectơ cột và vectơ hàng. Liên hợp Hermiti của một vectơ cột là một vectơ hàng với các phần tử liên hợp phức tạp và ngược lại.

— jknappen - Tái lập lại

yếu tố liên hợp phức tạp?

— ngôn

Các phần tử như trong các phần tử ma trận. Bạn cũng có thể sử dụng thuật ngữ "các thành phần" thông thường hơn khi nói về vectơ.

— jknappen - Tái lập lại

1

Đúng, là sản phẩm bên trong , nhưng không gian vectơ rất phức tạp, vì vậy công thức là , lưu ý dao găm cho liên hợp Hermiti, nó không chỉ là chuyển vị.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen - Tái lập lại

20

Bạn có thể nghĩ về và là hai trạng thái cơ bản trực giao (đại diện bởi "ket" s) của một bit lượng tử nằm trong không gian vectơ phức hai chiều. Các dòng và dấu ngoặc bạn nhìn thấy về cơ bản là ký hiệu bra-ket hay còn gọi là ký hiệu Dirac thường được sử dụng trong cơ học lượng tử. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Như một ví dụ có thể đại diện cho trạng thái spin-down của electron trong khi có thể đại diện cho trạng thái spin-up. Nhưng trên thực tế, electron có thể ở trạng thái chồng chất tuyến tính của hai trạng thái đó, ví dụ (điều này thường được chuẩn hóa như ) trong đó . $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— Daya
nguồn

16

Tất cả các dấu ngoặc và đường thẳng đứng này có ý nghĩa gì?

Ký hiệu có nghĩa chính xác giống như hoặc , nghĩa là nó biểu thị một vectơ có tên là "v". Đó là nó. Không có bí ẩn hay phép thuật nào cả. Ký hiệu biểu thị một vectơ gọi là "psi". $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

Biểu tượng được gọi là "ket", nhưng nó cũng có thể (và theo ý kiến của tôi) nên được gọi là "vectơ" hoàn toàn không mất ý nghĩa. $\left \lvert \cdot \right \rangle$

Trong khi đây có thể là một câu hỏi về toán học, loại ký hiệu này dường như được sử dụng thường xuyên khi xử lý tính toán lượng tử một cách cụ thể. Tôi không chắc chắn tôi đã từng thấy nó được sử dụng trong bất kỳ bối cảnh nào khác.

Ký hiệu được phát minh bởi một nhà vật lý ( Paul Dirac ) và được gọi là "ký hiệu Dirac" hoặc "ký hiệu bra-ket" . Theo như tôi biết, Dirac có lẽ đã phát minh ra nó trong khi nghiên cứu cơ học lượng tử, và vì thế trong lịch sử, ký hiệu chủ yếu được sử dụng để biểu thị các vectơ xuất hiện trong cơ học lượng tử, tức là các trạng thái lượng tử. Ký hiệu Bra-ket là tiêu chuẩn trong bất kỳ bối cảnh cơ học lượng tử nào , không chỉ tính toán lượng tử. Ví dụ, phương trình Schrodinger , liên quan đến động lực học trong các hệ lượng tử và có trước tính toán lượng tử trong nhiều thập kỷ, được viết bằng cách sử dụng ký hiệu bra-ket.

Hơn nữa, ký hiệu này khá thuận tiện trong các bối cảnh đại số tuyến tính khác và được sử dụng bên ngoài cơ học lượng tử.

— DanielSank
nguồn

12

Điều này dẫn đến kết luận rằng có một số khác biệt / lý do tại sao bra-ket đặc biệt tiện dụng để biểu thị các thuật toán lượng tử.

Đã có một câu trả lời được chấp nhận và một câu trả lời giải thích 'ket', 'bra' và ký hiệu sản phẩm vô hướng.

Tôi sẽ thử thêm một chút nữa vào mục được tô sáng. Điều gì làm cho nó một ký hiệu hữu ích / tiện dụng?

Điều đầu tiên mà ký hiệu bra-ket thực sự được sử dụng rất nhiều là để biểu thị rất đơn giản là các hàm riêng của một toán tử (thường là Hermiti) liên quan đến một giá trị riêng. Giả sử chúng ta có phương trình eigenvalue , điều này có thể được ký hiệu là , và có lẽ một số nhãn phụ nếu Có một số thoái hóa . $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Bạn thấy điều này được sử dụng trên tất cả các cơ học lượng tử, các nguyên tử động lượng có xu hướng được gắn nhãn là hoặc tùy theo đơn vị hoặc với nhiều trạng thái hạt ; đại diện số nghề nghiệp cho hệ thống bose và fermi nhiều hệ thống cơ thể ; một nửa hạt xoay lấy các hàm riêng thường của toán tử , đôi khi được viết là và hoặc và , v.v. $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; các hài bậc cầu như các hàm riêng của các hàm và được viết thuận tiện là với và $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Vì vậy, sự tiện lợi của ký hiệu là một điều, nhưng cũng có một loại cảm giác 'lego' đối với các thao tác đại số với ký hiệu dirac, ví dụ toán tử quay nửa trong ký hiệu dirac là , hoạt động ở trạng thái như một cách đơn giản $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

kể từ và . $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Điều gì làm cho nó thuận tiện cho các thuật toán lượng tử?

Nói rằng chúng tôi có một hệ thống hai cấp phù hợp cho một qubit; điều này tạo thành một không gian vectơ phức tạp hai chiều cho biết cơ sở của nó được ký hiệu là và . Khi chúng tôi xem xét nói qubit của hình thức này, các trạng thái của hệ thống sống trong một không gian lớn hơn không gian sản phẩm tenor, . Ký hiệu Dirac có thể khá tiện dụng ở đây, các trạng thái cơ bản sẽ được gắn nhãn bởi các chuỗi số và số 0 và người ta thường biểu thị một trạng thái, ví dụ và nói rằng chúng ta có một toán tử lật có thể thay thế cho nhau $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ trên bit thứ , điều này có thể hoạt động khá đơn giản trên các chuỗi trên, ví dụ và lấy tổng số toán tử hoặc hành động trên một sự chồng chất của các quốc gia hoạt động đơn giản như vậy. $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Thận trọng một chút : trạng thái được viết là không phải lúc nào cũng có nghĩa là , ví dụ như khi bạn có hai fermion giống hệt nhau các hàm sóng cho biết và , với các nhãn được lập chỉ mục một số cơ sở, sau đó người ta có thể viết trạng thái xác định thanh trượt của các fermion trong một tốc ký là hoặc thậm chí . $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— khoa
nguồn

8

Các ket ký hiệu phương tiện một vector trong bất cứ vector không gian chúng ta đang làm việc, chẳng hạn như không gian của tất cả các tổ hợp tuyến tính phức tạp trong tám chuỗi 3-bit , , , vv , như chúng ta có thể sử dụng để đại diện cho các trạng thái của một máy tính lượng tử. Unadorned có nghĩa chính xác là điều tương tự, ký hiệu ket rất hữu ích để nhấn mạnh rằng, ví dụ, là một yếu tố của không gian vectơ quan tâm và một phần vì sự dễ thương của nó kết hợp với ký hiệu áo ngực . $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

Các áo ngực ký hiệucó nghĩa là vector kép hoặc covector -a tuyến chức năng , hoặc biến đổi tuyến tính từ vectơ để vô hướng, có giá trị tại một vector là sản phẩm bên trong của với , dễ thương bằng văn bản . Ở đây, chúng ta giả sử sự tồn tại của một sản phẩm bên trong, không phải là một không gian vectơ tùy ý, nhưng trong vật lý lượng tử, chúng ta thường làm việc trong các không gian Hilbert mà theo định nghĩa có một sản phẩm bên trong. Phép đối ngẫu của vectơ đôi khi cũng được gọi là hoán vị (Hermiti) $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , bởi vì trong biểu diễn ma trận, một vectơ tương ứng với một cột và một covector tương ứng với một hàng và khi bạn nhân bạn sẽ có được một vô hướng. (Phần Hermiti có nghĩa là ngoài việc hoán vị ma trận, chúng ta lấy liên hợp phức tạp của các mục nhập của nó, mà thực sự chỉ là chuyển đổi biểu diễn ma trận của phức số .) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

Khi được viết theo cách khác,, bạn nhận được sản phẩm bên ngoài của với , được định nghĩa là phép biến đổi tuyến tính của không gian vectơ thành chính nó được đưa ra bởi . Nghĩa là, với một vectơ , nó chia tỷ lệ vectơ theo vô hướng được cho bởi sản phẩm bên trong . Vì các hoạt động trong câu hỏi là kết hợp, chúng tôi có thể loại bỏ dấu ngoặc đơn và viết rõ ràng $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ Tuy nhiên, các hoạt động liên quan thường không giao hoán: đảo ngược thứ tự mang lại liên hợp phức tạp , thay thế bằng . Cũng có thể có các biến đổi khác của các không gian liên quan được ném vào hỗn hợp, như , có thể được đọc tương đương như là tiền tố của hàm tuyến tínhbằng phép biến đổi tuyến tính , áp dụng cho vectơ

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ hoặc như đánh giá của hàm tuyến tínhtại vector thu được bằng cách biến đổi bởi sự biến đổi tuyến tính .

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

Ký hiệu được sử dụng chủ yếu trong vật lý lượng tử; các nhà toán học có xu hướng chỉ viết trong đó các nhà vật lý có thể viết ; cho covector; hoặc hoặc cho sản phẩm bên trong; và cho những gì các nhà vật lý sẽ ghi nhận bằng . $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— Ossifrage Squeamish
nguồn