RRT * có đảm bảo tính tối ưu tiệm cận cho số liệu chi phí giải phóng mặt bằng tối thiểu không?

Thuật toán lập kế hoạch chuyển động dựa trên lấy mẫu tối ưu (được mô tả trong bài viết này ) đã được hiển thị để mang lại các đường dẫn không va chạm hội tụ đến đường dẫn tối ưu khi thời gian lập kế hoạch tăng lên. Tuy nhiên, theo như tôi có thể thấy, các bằng chứng và thí nghiệm tối ưu đã cho rằng chỉ số chi phí đường dẫn là khoảng cách Euclide trong không gian cấu hình. Có thể cũng mang tính chất tối ưu cho các số liệu chất lượng con đường khác, chẳng hạn như tối đa hóa giải phóng mặt bằng tối thiểu từ những trở ngại trong suốt con đường?$\text{RRT}^*$$\text{RRT}^*$

Để xác định khoảng trống tối thiểu: để đơn giản, chúng ta có thể xem xét một robot điểm di chuyển trong không gian Euclide. Đối với bất kỳ cấu hình nào trong không gian cấu hình không va chạm, hãy xác định hàm trả về khoảng cách giữa robot và chướng ngại vật C gần nhất. Đối với đường dẫn , khoảng trống tối thiểu là giá trị tối thiểu của cho tất cả . Trong kế hoạch chuyển động tối ưu, người ta có thể muốn tối đa hóa giải phóng mặt bằng từ các chướng ngại vật dọc theo một con đường. Điều này có nghĩa là xác định một số chỉ số chi phí sao chod ( q $q$$d(q)$$\sigma$$\text{min_clear}(\sigma)$$d(q)$$q \in \sigma$$c(\sigma)$$c$tăng khi giải phóng mặt bằng tối thiểu giảm. Một hàm đơn giản sẽ là .$c(\sigma) = \exp(-\text{min_clear}(\sigma))$

Trong bài viết đầu tiên giới thiệu , một số giả định được đưa ra về chỉ số chi phí đường dẫn để các bằng chứng giữ vững; một trong những giả định liên quan đến tính phụ thuộc của số liệu chi phí, không áp dụng cho số liệu giải phóng mặt bằng tối thiểu ở trên. Tuy nhiên, trong bài báo gần đây mô tả thuật toán, một số giả định trước đây không được liệt kê và dường như chỉ số chi phí giải phóng mặt bằng tối thiểu cũng có thể được thuật toán tối ưu hóa.$\text{RRT}^*$

Có ai biết liệu bằng chứng về tính tối ưu của có thể giữ cho một số liệu chi phí giải phóng mặt bằng tối thiểu không (có lẽ không phải là bằng chứng tôi đưa ra ở trên, nhưng một bằng chứng khác có cùng mức tối thiểu) hoặc nếu các thí nghiệm đã được thực hiện Hỗ trợ tính hữu ích của thuật toán cho một số liệu như vậy?$\text{RRT}^*$

* Lưu ý, là sự kết hợp của các đường dẫn a và b . Khi đó c ( ⋅ ) được định nghĩa là khoảng hở tối thiểu ngụ ý c ( a | b ) = m i n ( c ( a ) , c ( b ) $a|b$$a$$b$$c(\cdot)$$c(a|b)=min(c(a),c(b))$

Bạn tham khảo (trong tài liệu tham khảo 1):

Định lý 11: (additivity của hàm chi phí.) Đối với tất cả , σ 2 ∈ X e r e e , hàm chi phí c satis fi es sau: c ( σ 1 | σ 2 ) = c ( σ 1 ) + c ( σ 2$\sigma_1$$\sigma_2$ $\in X_{free}$$c(\sigma_1|\sigma_2) = c(\sigma_1) + c(\sigma_2)$

Cái nào đã trở thành (trong tài liệu tham khảo 3, Bài toán 2):

Hàm chi phí được giả định là đơn điệu, theo nghĩa là cho tất cả $\sigma_1,\sigma_2\in\Sigma:c(\sigma_1)\leq c(\sigma_1|\sigma_2)$

Mà vẫn không phải là trường hợp cho khoảng cách giải phóng mặt bằng tối thiểu.

Cập nhật: Với các hạn chế thoải mái về chi phí đường dẫn, điểm kinh nghiệm được đề xuất của bạn (-min_cleld) có vẻ ổn.

Trong câu trả lời trước , chúng tôi đã đồng ý rằng hàm chi phí được xác định là

$c(\sigma) = \text{exp}(-\text{min_clear}(\sigma))$

sẽ đáp ứng các thuộc tính cần thiết cho RRT * để mang lại sự tối ưu tiệm cận theo số liệu này.

Tuy nhiên, khi xem xét bài viết IJRR mô tả RRT *, hàm chi phí này không thỏa mãn về mặt kỹ thuật các giả định được đưa ra trong bài viết. Cụ thể, hàm chi phí này vi phạm boundedness bất động sản, định nghĩa là:

$\exists k_c \quad c(\sigma) \leq k_c\text{TV}(\sigma), \forall \sigma \in \Sigma$

$\text{TV}(\sigma)$

$\sigma_0$$q$$\sigma_0$$c(\sigma_0) = \text{exp}(-d(q)) > 0$

Tôi tự hỏi nếu RRT * đơn giản sẽ không mang lại giải pháp tối ưu không có triệu chứng theo hàm chi phí như vậy, hoặc nếu nó vẫn có thể nhưng có lẽ những giả định đó đã đơn giản hóa các bằng chứng tối ưu trong bài báo.