Làm thế nào để đối phó với điều kiện biên cong khi sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn?

Tôi đang cố gắng tự học cách giải quyết PDE bằng số.

Tôi đã bắt đầu với phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) một thời gian vì tôi nghe nói rằng FDM là nền tảng của nhiều phương pháp số cho PDE. Cho đến nay tôi đã có một số hiểu biết cơ bản về FDM và có thể viết mã cho một số PDE đơn giản nằm trong khu vực thông thường với các tài liệu tôi tìm thấy trong thư viện và Internet, nhưng điều lạ là, những tài liệu mà tôi thường nói ít về việc điều trị ranh giới bất thường, cong, lạ, như thế này .

Hơn nữa, tôi chưa bao giờ thấy một cách dễ dàng để đối phó với ranh giới cong. Ví dụ, cuốn sách Giải pháp số phương trình vi phân từng phần - Giới thiệu (Morton K., Mayers D) , trong đó có phần thảo luận chi tiết nhất (chủ yếu ở 3,4 từ p71 và 6.4 từ p199) cho đến nay, tôi đã chuyển sang một phép ngoại suy thực sự cồng kềnh và bực bội đối với tôi.

Vì vậy, như tiêu đề đã hỏi, đối với ranh giới cong, thông thường mọi người sẽ đối phó với nó như thế nào khi sử dụng FDM? Nói cách khác, cách điều trị phổ biến nhất cho nó là gì? Hoặc nó phụ thuộc vào loại PDE?

Có một cách (ít nhất là tương đối) thanh lịch và độ chính xác cao để đối phó với ranh giới cong? Hay đó chỉ là một nỗi đau không thể tránh khỏi?

Tôi thậm chí muốn hỏi, ngày nay mọi người có thực sự sử dụng FDM cho ranh giới cong không? Nếu không, phương pháp phổ biến cho nó là gì?

Bất kỳ trợ giúp sẽ được đánh giá cao.

Trả lời câu hỏi cuối cùng của bạn trước tiên, mọi người có thực sự sử dụng FDM cho ranh giới cong hiện nay tôi muốn nói câu trả lời là không. Trong thế giới CFD thương mại, các sơ đồ khối lượng hữu hạn chính xác bậc 2 là tiêu chuẩn công nghiệp thực tế. Một trong những lợi thế của FV (và phương pháp tiếp cận phần tử hữu hạn / không liên tục mà Jed đã đề cập) so với FD là việc xử lý tự nhiên hơn các ranh giới phức tạp. FD cung cấp nền tảng của rất nhiều phương pháp số (bao gồm FV) và cần phải học như bước đầu tiên, nhưng không nên dùng cho các vấn đề phức tạp quy mô lớn.

$(x,y)$$\xi = \xi(x,y),\eta = \eta(x,y)$$\Delta \xi = \Delta \eta = constant$. Sau đó, người ta có thể viết lại các thuật ngữ như

$\frac{\partial (\xi,\eta)}{\partial (x,y)}$$u$

Tôi muốn nói rằng phương pháp lưới phù hợp với cơ thể này là "cách xử lý phổ biến nhất" để xử lý các ranh giới cong trong FD, với lời cảnh báo rằng bản thân các phương thức FD không còn "phổ biến" nữa đối với các ứng dụng phức tạp. Thật hiếm khi thấy chúng vẫn xuất hiện trong tài liệu CFD ngoại trừ trên các lĩnh vực rất đơn giản.

Các ranh giới cong được bao phủ trong hầu hết các sách CFD, ví dụ, Chương 11 của Wesseling hoặc Chương 8 của Ferziger và Peric .

Mặc dù không phải là một vấn đề lý thuyết cơ bản, sự phức tạp thực tế của việc thực hiện các điều kiện biên cho các phương pháp bậc cao trên các ranh giới cong là một lý do quan trọng để quan tâm đến các phương pháp linh hoạt hơn về mặt hình học như phương pháp phần tử hữu hạn (bao gồm cả Galerkin không liên tục). Sự khác biệt về cấu trúc hữu hạn và lưới khối hữu hạn vẫn được sử dụng trong một số mô phỏng CFD, nhưng các phương pháp phi cấu trúc đang trở nên phổ biến và các hoạt động cục bộ được sử dụng bởi các phương pháp phi cấu trúc bậc cao thực sự khá hiệu quả và do đó có thể không bị giảm hiệu quả so với FD tương tự phương pháp. (Thật vậy, tính linh hoạt hình học thường làm cho chúng hiệu quả hơn.)

Tôi đã làm việc trên fdm độ chính xác cao trong n năm qua. và tôi đã sử dụng phương trình tĩnh điện -2 dim laplace làm ví dụ để phát triển rõ ràng các thuật toán có độ chính xác cao. cho đến khoảng 4 năm trước, các vấn đề đã được xây dựng với các điểm đường ngang hoặc dọc có khả năng gián đoạn. Nếu bạn google tên của tôi và fdm độ chính xác cao, bạn nên tìm các tài liệu tham khảo. nhưng đây không phải là câu hỏi của bạn Câu hỏi của bạn là fdm và ranh giới cong. khoảng một năm trước tôi đã trình bày một giải pháp đơn hàng 8 ở Hồng Kông (xem Phương pháp khác biệt hữu hạn đối với tĩnh điện đối xứng hình trụ có ranh giới Curvilinear) đã tạo ra 8 thuật toán thứ tự cho các điểm bên trong gần với ranh giới và những thuật toán này sẽ yêu cầu tất nhiên các điểm ở phía bên kia của ranh giới. các điểm ở phía bên kia của ranh giới được đặt ở đó bằng cách mở rộng lưới sang phía bên kia. khi thực hiện điều này, câu hỏi là làm thế nào để bạn tìm thấy các giá trị của những điểm này khi thư giãn lưới. nó đã được thực hiện bằng cách tích hợp từ ranh giới (tiềm năng đã biết) đến điểm bằng các thuật toán. nó đã thành công một cách hợp lý và chính xác một cách hợp lý ~ <1e-11, NHƯNG yêu cầu 103 thuật toán được tạo riêng lẻ và nó có thể dễ vỡ, hình học không ổn định có thể được tìm thấy. để khắc phục các giải pháp trên đã được tìm thấy (thứ tự 8 trở xuống) bằng thuật toán tối thiểu (một!) và giải pháp thể hiện sự mạnh mẽ đáng kể. nó đã được gửi nhưng sẽ có sẵn như là một bản in sẵn bằng cách gửi email cho tôi. Tôi tin rằng kỹ thuật này sẽ có thể mở rộng theo thời gian (yêu cầu tuyến tính) độc lập với thời gian hơn so với laplace và với kích thước cao hơn 2. Tôi chưa xem xét vấn đề phụ thuộc thời gian nhưng kỹ thuật là một kỹ thuật chuỗi sức mạnh nên có thể thích ứng và áp dụng được. yêu