Tôi nên sử dụng hướng dẫn nào khi tìm kiếm các phương pháp tiền điều kiện tốt cho một vấn đề cụ thể?

Đối với giải pháp của các hệ tuyến tính lớn sử dụng các phương pháp lặp, thường được quan tâm để đưa ra điều kiện tiên quyết, ví dụ giải quyết thay vì , trong đó ở đây được sử dụng cho tiền điều kiện bên trái của hệ thống. Thông thường, chúng ta nên có và cung cấp cơ sở cho (nhiều hơn) giải pháp hiệu quả hoặc giảm tài nguyên tính toán (ví dụ: lưu trữ bộ nhớ) so với giải pháp của hệ thống ban đầu ( tức là khi ). Tuy nhiên, chúng ta nên sử dụng hướng dẫn nào để chọn điều kiện tiên quyết? Làm thế nào để các nhà quảng cáo làm điều này cho vấn đề cụ thể của họ?$Ax=b$$M^{-1}(Ax=b)$$M$$M^{-1}\approx A^{-1}$$M=A$

Ban đầu tôi không muốn đưa ra câu trả lời vì điều này xứng đáng được điều trị rất lâu và hy vọng người khác vẫn sẽ đưa ra. Tuy nhiên, tôi chắc chắn có thể đưa ra một cái nhìn tổng quan rất ngắn gọn về phương pháp được đề xuất:

1. Thực hiện tìm kiếm tài liệu kỹ lưỡng .
2. Nếu thất bại, hãy thử mọi điều kiện tiên quyết có ý nghĩa rằng bạn có thể chạm tay vào. MATLAB, PETSc và Trilinos là những môi trường tốt cho việc này.
3. Nếu thất bại, bạn nên suy nghĩ cẩn thận về vật lý của vấn đề của bạn và xem liệu có thể đưa ra giải pháp gần đúng giá rẻ hay không, thậm chí có thể là một phiên bản thay đổi một chút của vấn đề của bạn.

Ví dụ về 3 là các phiên bản Laplacian của Helmholtz, và công trình gần đây của Jinchao Xu về tiền điều khiển toán tử biharmonic với Laplacian.

Những người khác đã nhận xét về vấn đề tiền điều kiện mà tôi sẽ gọi là ma trận "nguyên khối", ví dụ như dạng rời rạc của phương trình vô hướng như phương trình Laplace, phương trình Helmholtz hoặc, nếu bạn muốn khái quát hóa nó, giá trị véc tơ phương trình đàn hồi. Đối với những điều này, rõ ràng là multigrid (đại số hoặc hình học) là người chiến thắng nếu phương trình là elip, và đối với các phương trình khác thì nó không rõ ràng lắm - nhưng một cái gì đó như SSOR thường hoạt động khá tốt (đối với một số ý nghĩa của "hợp lý").

Đối với tôi, sự mặc khải lớn là những gì cần làm đối với các vấn đề không phải là nguyên khối, ví dụ cho toán tử Stokes Khi tôi bắt đầu với phân tích số khoảng 15 năm trước, tôi nghĩ mọi người có hy vọng rằng các kỹ thuật tương tự có thể được áp dụng cho các ma trận như trên và hướng nghiên cứu là thử trực tiếp multigrid hoặc sử dụng khái quát hóa SSOR (sử dụng " điểm làm mịn "như Vanka) và các phương pháp tương tự. Nhưng điều này đã phai mờ vì nó không hoạt động tốt.

$$\begin{pmatrix} A & B \\ B^T & 0 \end{pmatrix}.$$

Cái đã đến để thay thế cái này là cái ban đầu được gọi là "điều kiện tiên quyết dựa trên vật lý" và sau đó đơn giản là (và có thể chính xác hơn) là "điều kiện tiên quyết khối" như của Silvester và Wathen. Chúng thường dựa trên việc loại bỏ khối hoặc bổ sung Schur và ý tưởng là xây dựng một điều kiện tiên quyết theo cách mà người ta có thể sử dụng lại các điều kiện tiên quyết cho các khối riêng lẻ được biết là hoạt động tốt. Ví dụ, trong trường hợp phương trình Stokes, tiền thân Silvester / Wathen sử dụng ma trận đó

$$\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & B^T A^{-1} B \end{pmatrix}^{-1}$$ khi được sử dụng như một điều kiện tiên quyết với GMRES sẽ dẫn đến sự hội tụ trong chính xác hai lần lặp. Vì nó là hình tam giác, việc đảo ngược cũng đơn giản hơn nhiều, nhưng chúng ta vẫn có vấn đề phải làm gì với các khối đường chéo và có một cách sử dụng xấp xỉ: trong đó dấu ngã có nghĩa là thay thế nghịch đảo chính xác bằng một xấp xỉ. Điều này thường đơn giản hơn nhiều: vì khối A là toán tử elip, ~ A - $$\begin{pmatrix} \widetilde{A^{-1}} & B \\ 0 & \widetilde{(B^T A^{-1} B)^{-1}} \end{pmatrix}$$ $A$$\widetilde{A^{-1}}$được xác định gần đúng bởi một chu kỳ V đa biến, chẳng hạn, và hóa ra ở đây, gần đúng bởi một ILU của ma trận khối.$\widetilde{(B^T A^{-1} B)^{-1}}$

Ý tưởng làm việc với các khối riêng biệt bao gồm ma trận và sử dụng lại các điều kiện tiên quyết trên các khối riêng lẻ đã được chứng minh là rất mạnh mẽ và đã thay đổi hoàn toàn cách chúng ta nghĩ về các hệ phương trình tiền điều kiện ngày nay. Tất nhiên, điều này có liên quan bởi vì hầu hết các vấn đề thực tế, trên thực tế, là các hệ phương trình.

Jack đã đưa ra một quy trình tốt để tìm một điều kiện tiên quyết. Tôi sẽ thử một địa chỉ cho câu hỏi, "Điều gì tạo nên một điều kiện tiên quyết tốt?". Định nghĩa hoạt động là:

$A x = b$$M^{-1}$$A^{-1}$

tuy nhiên điều này không cung cấp cho chúng tôi bất kỳ cái nhìn sâu sắc nào trong việc thiết kế một điều kiện tiên quyết. Hầu hết các điều kiện tiên quyết dựa trên thao tác của phổ toán tử. Nhìn chung, các phương thức Krylov hội tụ nhanh hơn khi các giá trị riêng được nhóm lại, xem Lặp lại ma trận hoặc Hàm Merom định hình và Đại số tuyến tính . Đôi khi chúng ta có thể chứng minh một kết quả tiền điều kiện chỉ là một vài giá trị riêng, ví dụ: Lưu ý về điều kiện tiên quyết cho các hệ thống tuyến tính không xác định .

Một chiến lược chung được minh họa bởi Multigrid. Các điều kiện tiên quyết thư giãn (ở đây làm mịn) như SOR loại bỏ các thành phần tần số cao trong lỗi. Khi phần dư được chiếu lên lưới thô, các thành phần lỗi tần số thấp hơn trở thành tần số cao hơn và một lần nữa có thể bị SOR tấn công. Chiến lược cơ bản này làm cơ sở cho các phiên bản phức tạp hơn của MG, chẳng hạn như AMG. Lưu ý rằng ở dưới cùng, bộ giải phải giải quyết chính xác các tần số thấp nhất trong lỗi.

Một chiến lược khác liên quan đến việc giải phương trình trong các không gian con nhỏ, đó chính xác là những gì người giải Krylov đang làm. Ở dạng đơn giản nhất, đây là phương pháp Kaczmarz hoặc Phương pháp cộng gộp Schwarz . Chủ nghĩa lý thuyết tiên tiến ở đây, Phân tích miền , tập trung vào xấp xỉ phổ của lỗi trên giao diện, vì các miền được giả sử được giải quyết khá chính xác.

$A$