Trong phương pháp như gmres hoặc bicgstab, có thể hấp dẫn khi sử dụng một phương pháp krylov khác làm tiền điều kiện. Rốt cuộc, chúng dễ dàng thực hiện theo cách không có ma trận và trong môi trường song song. Ví dụ, một coul sử dụng một vài lần (giả sử ~ 5) các lần lặp của bigcstab chưa được phân tách làm tiền đề cho gmres hoặc bất kỳ phương pháp kết hợp krylov nào khác. Tôi không tìm thấy nhiều tài liệu tham khảo về cách tiếp cận như vậy trong lứa đẻ, vì vậy tôi hy vọng rằng điều này là do nó không hiệu quả lắm. Tôi muốn hiểu tại sao nó không hiệu quả. Có những trường hợp nó là một lựa chọn tốt?

Trong nghiên cứu của tôi, tôi quan tâm đến giải pháp cho các vấn đề elip 3d trong môi trường song song (mpi).

Thật thú vị khi câu hỏi này xuất hiện vào ngày hôm qua, vì tôi vừa hoàn thành một triển khai ngày hôm qua thực hiện điều này.

Nền tảng của tôi

Chỉ để bắt đầu, hãy cho tôi biết rằng trong khi nền tảng giáo dục của tôi là từ máy tính khoa học, tất cả công việc tôi đã làm kể từ khi tốt nghiệp, bao gồm cả bằng tiến sĩ hiện tại của tôi. làm việc, đã được trong điện từ tính toán. Vì vậy, tôi đoán rằng nền tảng của chúng tôi có phần giống nhau, vì bạn cũng dường như đang xem xét vật lý (dựa trên hồ sơ của bạn).

NHIỆM VỤ

Trước hết, những gì bạn đang tìm kiếm, như Guido Kanschat đã đề cập trong một bình luận, được gọi là GMRES linh hoạt hoặc FGMRES. Tham chiếu, bao gồm mã giả, nằm trong [1]. Mặc dù đôi khi tôi thấy các bài viết SIAM số hơi khó đọc, [1] (và hầu hết các tác phẩm khác của Saad, bao gồm cả [B1] xuất sắc, dường như có sẵn về mặt pháp lý miễn phí trực tuyến) lại khác; bài viết là một bài đọc hấp dẫn, được viết rất rõ ràng và với một vài ví dụ và gợi ý hay cho các ứng dụng.

FGMRES rất dễ thực hiện, đặc biệt nếu bạn đã có một GMRES tiền điều kiện làm việc. Lưu ý từ khóa ĐÚNG ở đây - nếu bạn có GMRES tiền điều kiện, nghĩa là bạn đã quen với việc giải MAx = Mb, thì bạn phải thực hiện một vài sửa đổi. So sánh [B1, Thuật toán 9,4 trên pg. 282] đến [B1, Thuật toán 9.5, pg. 284]. Bạn cũng có thể tìm thấy FGMRES trong [B1, Thuật toán 9.6, pg. 287], nhưng tôi thực sự khuyến khích bạn đọc [1] vì nó ngắn, được viết tốt và vẫn còn nhiều chi tiết thú vị.

Nó làm gì

FGMRES về cơ bản cho phép bạn chuyển đổi các điều kiện tiên quyết cho mỗi lần lặp, nếu bạn muốn. Một trong những ứng dụng cho điều này là bạn có thể sử dụng một số điều kiện tiên quyết hoạt động rất tốt khi bạn ở xa giải pháp, sau đó chuyển sang một ứng dụng khác khi bạn đến gần hơn. [2], mà tôi chưa đọc chi tiết, dường như thảo luận về một cái gì đó tương tự như thế này.

Tuy nhiên, ứng dụng thú vị nhất trong trường hợp của tôi là bạn có thể sử dụng GMRES (tiền điều kiện) làm tiền đề cho FGMRES của bạn. Đây là lý do đằng sau tên điển hình cho FGMRES, "GMRES bên trong". Ở đây, "bên ngoài" đề cập đến bộ giải FGMRES, mà (như tiền điều kiện) sử dụng một bộ giải "bên trong".

Vì vậy, làm thế nào là tốt trong thực tế?

Trong trường hợp của tôi, điều này làm việc hoàn toàn xuất sắc. Trong vòng lặp bên trong, tôi "giải quyết" một công thức giảm độ phức tạp cho vấn đề của mình. Về bản thân, giải pháp này quá không chính xác cho việc sử dụng của chúng tôi, nhưng nó hoạt động hoàn toàn tuyệt vời như một điều kiện tiên quyết. Lưu ý "" xung quanh "giải quyết" - không cần phải chạy bộ giải bên trong để hội tụ, vì bạn chỉ tìm kiếm các xấp xỉ thô. Trong trường hợp của tôi, tôi đã chuyển từ sử dụng 151 lần lặp, mỗi lần tốn 64 giây, đến 72 lần lặp, mỗi lần tốn 79 giây (tôi đã sử dụng 5 lần lặp cố định trong GMRES bên trong). Đó là tổng tiết kiệm một giờ, không mất độ chính xác và rất ít công việc mã hóa vì chúng tôi đã có một GMRES hoạt động mà chúng tôi vừa thực hiện đệ quy.

Đối với một số ứng dụng của công cụ này, thể hiện hiệu suất tiềm năng, xem [3] (thực tế sử dụng FGMRES ba cấp, vì vậy FGMRES, với FGMRES là bên trong, với GMRES là bên trong) và [4], cũng có thể ứng dụng cụ thể cho việc sử dụng của bạn, nhưng chứa một số trường hợp thử nghiệm thú vị.

Người giới thiệu

[1] Y. Saad, Mười Một thuật toán GMRES linh hoạt bên trong-bên ngoài linh hoạt, SI SI J. J. Sci. Comp., Tập. 14, không 2, trang 461 Từ469, tháng 3 năm 1993. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/PDF/umsi-91-279.pdf

[2] Đ.-Z. Đinh, R.-S. Chen và Z. Fan, Phương pháp GMRES linh hoạt bên trong bên ngoài dành cho phân tích MLFMM để phân tích MLFMM về sự tán xạ của các vật thể mở, Tiến trình trong nghiên cứu điện từ, tập. 89, trang 339 Cảng357, 2009. http://www.jpier.org/PIER/pier89/22.08112601.pdf

[3] TF Eibert, Thang Một số kết quả tán xạ được tính toán bằng phương pháp tích phân bề mặt và kỹ thuật tích phân ranh giới phần tử hữu hạn, được tăng tốc bằng phương pháp đa cực nhanh đa cấp, Tạp chí Ăng-ten Ăng-ten và Tạp chí Tuyên truyền, vol. 49, không 2, tr 61 616969, 2007.

[4]. Ergül, T. Malas, và L. Gürel, Giải pháp của các vấn đề điện từ quy mô lớn sử dụng sơ đồ lặp bên trong lặp bên ngoài với thuật toán đa cực nhanh đa cấp thông thường và gần đúng, tiến bộ trong nghiên cứu điện từ, vol. 106, trang 203 Điện2222, 2010 http://www.jpier.org/PIER/pier106/13.10061711.pdf

[B1] Y. Saad, Phương pháp lặp cho các hệ thống tuyến tính thưa thớt. SIAM, 2003. http://www-users.cs.umn.edu/~saad/IterMethBook_2ndEd.pdf

Một phương pháp không gian con Krylov lồng nhau như vậy có thể hoạt động khá tốt trong thực tế. Nó có thể được quan tâm đối với các hệ thống tuyến tính không đối xứng mà GMRES khởi động lại bị đình trệ và GMRES không được khởi động là quá đắt hoặc sử dụng quá nhiều bộ nhớ. Một số tài liệu:

1. GMRESR: Một họ các phương pháp GMRES lồng nhau , van der Vorst, Vuik
2. Các phương pháp không gian con Krylov bên trong linh hoạt , Simoncini, Szyld
3. Một thuật toán GMRES linh hoạt bên trong bên ngoài , Saad
4. Trải nghiệm thêm với GMRESR , Vuik