Có một yếu tố quyết định nhỏ bé ngụ ý điều hòa không tốt của một ma trận?

Nếu tôi có một ma trận khả nghịch hình vuông và tôi lấy định thức của nó và tôi thấy rằng , điều này có nghĩa là ma trận này có điều kiện kém không? $\det(A) \approx 0$

Điều ngược lại cũng đúng? Một ma trận điều hòa có một yếu tố quyết định gần như bằng không?

Đây là một cái gì đó tôi đã thử trong Octave:

a = rand(4,4);
det(a) %0.008
cond(a)%125
a(:,4) = 1*a(:,1) + 2*a(:,2) = 0.000000001*ones(4,1);
det(a)%1.8E-11
cond(a)%3.46E10

linear-algebra condition-number

— Thắc mắc
nguồn

Hệ số xác định cho thấy một ma trận là thường xuyên hay số ít. Nó không hiển thị cho dù đó là điều kiện tốt hay điều hòa.

— Allan P. Engsig-Karup

Độ lớn của định thức không thể phản ánh điều kiện xấu: nhưng .

κ (A) = κ (A^{- 1})

$\kappa(A)=\kappa(A^{-1})$

det (A^{- 1}) = (det A)^{- 1}

$\det (A^{-1})=(\det A)^{-1}$

— faleichik

Nên có một hoặc ở đâu đó?

\approx

$\approx$

\neq

$\ne$

— Thắc mắc

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về tác dụng của toán học dấu phẩy động đối với phổ ma trận, bạn nên xem cuốn sách của Nick Trefethen: Spectra và Pseudospectra: Hành vi của ma trận và toán tử không bình thường và Cổng Pseudospectra .

— Aron Ahmadia

Câu trả lời:

Đó là độ lớn của số điều kiện $\kappa(\mathbf A)$ đo lường mức độ gần với điểm kỳ dị, chứ không phải độ tin cậy của yếu tố quyết định.

Chẳng hạn, ma trận đường chéo $10^{-50} \mathbf I$ có một định thức nhỏ, nhưng được điều hòa tốt.

Mặt khác, hãy xem xét các họ ma trận tam giác vuông phía trên, do Alexander Ostrowski (và cũng được nghiên cứu bởi Jim Wilkinson):

U = (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & 2 \\ 1 & ⋱ & ⋮ \\ ⋱ & 2 \\ 1 \end{matrix})

$\mathbf U=\begin{pmatrix}1&2&\cdots&2\\&1&\ddots&\vdots\\&&\ddots&2\\&&&1\end{pmatrix}$

Hệ số xác định của ma trận luôn là , nhưng tỷ lệ của giá trị số nhỏ nhất với giá trị số nhỏ nhất (nghĩa là số điều kiện 2 chỉ tiêu ) được Ostrowski hiển thị bằng với , có thể được xem là tăng để tăng . $n\times n$ $\mathbf U$ $1$ $\kappa_2(\mathbf U)=\dfrac{\sigma_1}{\sigma_n}$ $\cot^2\dfrac{\pi}{4n}$ $n$

— JM
nguồn

@Nunoxic: chắc chắn là không; trước khi tôi đưa ra chi tiết, bạn đã quen với phân tách giá trị số ít chưa?

— JM

Rất tốt. Đó là tất cả những điều bạn cần biết. Ý tưởng là thông tin rất quan trọng về điều hòa được tập trung trong . Cụ thể, bạn sẽ muốn tìm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (hãy nhớ rằng phép phân tách được xác định sao cho các mục chéo của là không âm) trong đường chéo của ma trận đó. Tỷ lệ của mục nhập đường chéo lớn nhất đến nhỏ nhất là số điều kiện . Kích thước của số điều kiện bạn nên quan tâm tùy thuộc vào máy bạn làm việc trên ...

Σ

$\mathbf \Sigma$

Σ

$\mathbf \Sigma$

κ

$\kappa$

— JM

... nhưng nhìn chung, khi giải phương trình tuyến tính với ma trận đó, bạn đứng để mất cơ sở- chữ số trong giải pháp của bạn. Đó là một quy tắc thô cho số điều kiện; do đó, nếu bạn đang làm việc chỉ có 16 chữ số, thì là sẽ gây lo ngại.

\approx \log_{b} κ

$\approx \log_b \kappa$

b

$b$

κ

$\kappa$

10^{1} 3

$10^13$

— JM

Có, nhưng đó không phải là phương pháp được đề xuất để xác định số điều kiện (một lời giải thích cho câu hỏi khác). Tôi đoán bạn biết làm thế nào để đảo ngược một ma trận đường chéo, không?

— JM

"Regd. Mất chữ số, bạn có thể cho tôi một tài liệu tham khảo cho điều này?" - Tôi có thể, nhưng đây thực sự là một trong những điều mà bạn nên tự mình thử nghiệm trong môi trường điện toán để củng cố.

— JM

Vì , định thức có thể được thực hiện lớn hoặc nhỏ tùy ý bằng cách thay đổi kích thước đơn giản (không thay đổi số điều kiện). Đặc biệt là ở kích thước cao, thậm chí tỷ lệ theo hệ số vô tội là 2 thay đổi yếu tố quyết định bằng một lượng rất lớn. $\det(kA)=k^n\det A$

Do đó, không bao giờ sử dụng định thức để đánh giá điều kiện hoặc sự gần gũi với điểm kỳ dị.

Mặt khác, đối với hầu hết tất cả các vấn đề số được đặt ra, điều kiện này liên quan chặt chẽ đến khoảng cách đến điểm kỳ dị, theo nghĩa nhiễu loạn tương đối nhỏ nhất cần thiết để làm cho vấn đề trở nên tồi tệ. Đặc biệt, điều này giữ cho các hệ thống tuyến tính.

— Arnold Neumaier
nguồn