Tỷ lệ hội tụ phần tử hữu hạn cho các vấn đề hỗn hợp

Tôi đã mã hóa một vấn đề Stokes Flow bằng các phần tử hữu hạn và đang trong quá trình xác minh rằng nó hoạt động. Tôi chỉ không chắc chắn tốc độ hội tụ mà tôi nên mong đợi khi tôi tinh chỉnh lưới trên toàn cầu.

Tôi biết các bài toán vô hướng sử dụng các hàm cơ sở tuyến tính Tôi mong muốn hội tụ $h^2$ ( $h$ là kích thước phần tử) và sử dụng các hàm cơ sở bậc hai tôi mong muốn hội tụ $h^3$ trong định mức $L^2$ và giảm một công suất trong $H^1$ hội thảo. Vấn đề tôi gặp phải bây giờ là khi mã hóa dòng Stokes, tôi đã sử dụng phần tử Taylor-Hood sử dụng các lớp lót cho áp suất và bậc hai cho các thành phần vận tốc. Có đơn giản như vận tốc hội tụ ở $h^3$ và áp suất ở bậc $h^2$ không?

Tôi đã đăng bài này lên mathoverflow trước và được cho biết nó có thể phù hợp hơn với diễn đàn này.

(u,p)∈V×M(uh,p h)∈Vh×MhV=H 1 0 (Ω)dM=

$$\|u-u_h\|_V + \|p-p_h\|_M \leq C (\inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_V + \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_M), \tag{1}$$ $(u,p)\in V\times M$$(u_h,p_h)\in V_h\times M_h$$V=H^1_0(\Omega)^d$P 2 P 1 V h M h inf w h ∈ V h ‖ u - w h ‖ H $M = L^2(\Omega)$$P_2$$P_1$$V_h$$M_h$của đa thức tuyến tính piecewise liên tục, trong đó cả hai thuật ngữ ở phía bên tay phải có thể được giới hạn bởi các lỗi xấp xỉ bậc hai sử dụng các đối số chuẩn (ví dụ, bổ đề Bramble-Hilbert và quy tắc chuyển đổi): (quy tắc ngón tay cái "số lượng đạo hàm bên trái lũy thừa của số lượng đạo hàm Phía bên phải"). Chèn cái này vào sẽ mang lại (giả sử rằng giải pháp chính xác trong thực tế là đủ thường xuyên). +h=(1)‖u-uh‖ H 1 +‖p-ph‖ L 2 ≤Ch2(‖u‖ H 3 +‖p‖ H 2 ) $$\begin{aligned} \inf_{w_h\in V_h}\|u-w_h\|_{H^1} &\leq C h^2\|u\|_{H^3}\\ \inf_{q_h\in M_h}\|p-q_h\|_{L^2} &\leq C h^2\|p\|_{H^2}\\ \end{aligned}$$ $+$$h$ $=$$(1)$ $$\|u-u_h\|_{H^1} + \|p-p_h\|_{L^2} \leq C h^2(\|u\|_{H^3} + \|p\|_{H^2}).$$

Vì cả bài toán Stokes liên tục và rời rạc đều là một hệ thống tuyến tính được ghép hình tam giác trên có dạng ước tính lỗi (khai thác rằng sự khác biệt của các giải pháp thỏa mãn một hệ thống tương tự cho và và sử dụng tính không khả dụng của trên kernel của ) cho nói chung phụ thuộc vào lỗi trong .

$$\begin{aligned} Au + B^* p &= f\\ Bu &=0\end{aligned}$$ $A_h$$B_h$$A$$B$$u-u_h$$p-p_h$

Tuy nhiên, nếu bạn nhìn vào bằng chứng, sẽ có một lỗ lặp: Nếu không gian rỗng của được chứa trong không gian rỗng của , thì thực tế thuật ngữ ghép nối sẽ bị loại bỏ và bạn chỉ có được ước tính lỗi liên quan đến : Từ đó, bạn có thể áp dụng thủ thuật Aubin-Nitsche tiêu chuẩn (nếu phương trình liên kết được đặt ra tốt, đó là trường hợp nếu miền đủ thường xuyên - một đa giác lồi trong 2D hoặc có một ranh giới có thể được tham số hóa bởi một hàm phân biệt của Lipschitz) để đạt được tốc độ hội tụ cho -error của một đơn hàng cao hơn: $B_h$$B$$u$

$$\|u-u_h\|_{H^1} \leq C h^2 \|u\|_{H^3}$$ $\Omega$$L^2$ $$\|u-u_h\|_{L^2} \leq C h^3 \|u\|_{H^3}$$

Bạn có thể tìm thấy những kết quả này trong Ern, Guermond: Lý thuyết và thực hành các yếu tố hữu hạn , Springer, 2004 . (Các ước tính lỗi được thu thập trong Định lý 4.26, trong khi đều đặn cần thiết cho được định nghĩa trong Bổ đề 4.17; các bằng chứng không may rải rác trên các cuốn sách, và tôi nghĩ rằng . Là hư không xác nhận rõ ràng)$\Omega$$\ker B_h\subset \ker B$