Trạng thái hiện tại của nghệ thuật trong việc giải các PDE parabol chiều cao hơn (phương trình Schrödinger đa electron)

11

Trạng thái hiện tại của nghệ thuật để giải quyết các PDE parabol chiều cao hơn (3-10) trong miền phức với các cực đơn giản (có dạng ) và hấp thụ các điều kiện biên? $\frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}$

Cụ thể, tôi quan tâm đến việc giải phương trình Schrödinger đa electron:

$\left( \sum_i \sum_{j\neq i}\left[ -\frac{\nabla_i^2}{2 m} - \frac{Z_i Z_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|} + V(\vec{r}_i, t) \right]\right)\psi = -i\partial_t \psi$

Đối với một phân tử diatomic có nhiều hơn 1 electron.

parabolic-pde quantum-mechanics high-dimensional

— Andrew Spott
nguồn

6

Các giải pháp cho phương trình là trong Nếu số lượng điện tử đủ nhỏ, bạn có thể sử dụng bất kỳ phương pháp truyền thống nào . Giống như một phương pháp phân biệt miền (Sự khác biệt hữu hạn, Phần tử hữu hạn, Phần tử ranh giới) hoặc phương pháp giả ngẫu nhiên. Vì việc giải phương trình này không khó hơn giải phương trình sóng đa chiều.

ψ \in C^{3 M} \times R^{+} .

$\psi \in \mathbb{C}^{3M}\times\mathbb{R}^+ \enspace .$

Trong trường hợp hệ thống lớn hơn, một số mẹo là cần thiết để có được giải pháp. Chúng tôi thay thế tương tác electron-electron cho sự tương tác của electron bằng một đám mây electron (một xấp xỉ trường trung bình của phần còn lại của chúng), và sau đó giải quyết theo kiểu tự đồng nhất (do tính phi tuyến tính đến từ trường trung bình kỳ hạn). Điều này được thực hiện trong Lý thuyết chức năng mật độ và mật độ (DFT) của Hartree-Fock . Trong đó phương trình vi phân ban đầu được chuyển thành một công thức biến đổi.

DFT là phương pháp phổ biến nhất hiện nay và ưu điểm là tất cả các phương trình được xây dựng theo mật độ electron chứ không phải theo phương trình sóng. Vì vậy, các phương trình nằm trong một không gian 3 chiều. Một cuốn sách mô tả cả hai phương pháp này là

Thijssen, Jos. Vật lý tính toán. Nhà xuất bản Đại học Cambridge, năm 2007, liên kết Amazon .

— nicoguaro
nguồn

3

Bạn muốn giải quyết cho 3 đến 10 hệ thống hạt (3D mỗi hạt)? Theo như tôi biết, các lý thuyết trường có nghĩa là không hoạt động đặc biệt tốt đối với rất ít hạt, nhưng có vẻ như đã có DFT hoạt động trên các phân tử diatomic.

Đây có phải là một hệ thống mà Sinh-Oppenheimer hợp lệ không? Nếu vậy, tôi có thể có xu hướng mở rộng hàm sóng điện tử bằng cách sử dụng kết hợp tuyến tính các xác định Slater có thể sử dụng lưới thưa hoặc lưới thưa quang phổ Bài báo này có thể giúp ích .

Một lựa chọn khác là thử sử dụng một phương pháp liên kết chặt chẽ, mặc dù thực tế là bạn đã đề cập đến các điều kiện biên hấp thụ cho thấy bạn có thể nghĩ đến các vấn đề liên quan đến ion hóa / phân ly. TB chủ yếu sẽ hữu ích nếu bạn đang cố gắng xấp xỉ các trạng thái cấp thấp.

Có thể một cái gì đó giống như phương pháp Hartree-Fock phụ thuộc nhiều thời gian có thể hoạt động ở đây MCTDHF .

Cuối cùng, bạn có thể xem xét các phương pháp lượng tử Monte Carlo. Đây là các phương pháp theo đó các mô hình chức năng trao đổi và tương quan cho các nguyên tử đơn lẻ thu được để thực hiện các phép tính DFT. Dường như có các phần mở rộng đa nguyên tử. (Tôi không có đặc quyền liên kết).

— Greg
nguồn

3-10 kích thước, không phải hạt: cụ thể là 1 đến 3 electron, 2 hạt nhân (1d cho hạt nhân, 6d cho hạt), không có xấp xỉ Sinh-Oppenheimer. Và tôi đang làm công cụ loại ion hóa.

— Andrew Spott

1

Nếu bạn có các nguyên tử , hàm sóng của bạn phụ thuộc vào các biến . Nếu bạn muốn phân biệt chức năng này trên một lưới đồng nhất với nút theo mỗi hướng này (hoặc với các hàm hình dạng một chiều ), bạn cần tổng số ẩn số - quá nhiều cho bất kỳ số thú vị của các electron . Để chỉ đưa ra một ví dụ, nếu bạn chỉ sử dụng nút cho mỗi hướng và bạn chỉ có 3 electron, bạn đã có một hệ thống có kích thước , rất nhiều giới hạn của những gì người ta có thể làm hôm nay. $M$ $3M$ $N$ $N$ $N^{3M}$ $M$ $N=10$ $10^9$

Từ việc xem xét này theo sau, không thể xem xét vấn đề với tất cả các điện tử cùng một lúc - bạn cần hạn chế một hoặc hai điện tử cùng một lúc. Điều này tự nhiên dẫn bạn đến các phương thức như phương pháp Hartree Fock lặp lại các electron trong khi vẫn giữ phần còn lại của hệ thống cố định.

Tôi không biết rõ về lĩnh vực này nhưng hãy tưởng tượng rằng có một số tài liệu đánh giá được trích dẫn và viết tốt về chủ đề này.

— Wolfgang Bangerth
nguồn

10^{9}

$10^9$ Yeouch. Các hệ thống có thể được giải quyết, nhưng tốt hơn hết là bạn có một lý do chính đáng, siêu máy tính và có nhiều thời gian trên tay!

— meawoppl

Chà, hệ thống fermionic có khá nhiều đối xứng (chống) do nguyên tắc Pauli mà bạn có thể khai thác để giảm đáng kể số bậc tự do (thay vì hypercube 3 chiều, bạn chỉ cần xem xét đơn giản tương ứng, trong đó khối lập phương chứa (3M)! bản sao). Vì vậy, bạn chỉ cần các hàm cơ bản binom (N, 3M) - vẫn theo cấp số nhân, nhưng phát triển chậm hơn nhiều. Điều đó có thể đặt đầu dưới của phạm vi trong tầm với của một máy trạm mạnh mẽ.

— Christian Clason

Đối với hệ thống 3 electron, có thể. Nhưng bạn vẫn không thể làm được gì ngoài việc này. Điều đó không để lại một số lượng lớn các phân tử :-)

— Wolfgang Bangerth

Nhưng câu hỏi chỉ yêu cầu 3-10 biến :) (Nhưng quan điểm của bạn là hợp lệ: đối với bất kỳ thứ gì có nhiều hơn một số electron, bạn cần xem xét các mô hình trường gần đúng như DFT; quan điểm của tôi là giữa "có thể được giải quyết bằng các cách tiếp cận tiêu chuẩn "và" chỉ có thể giải quyết được xấp xỉ ", có một loạt các vấn đề không hề nhỏ mà" chỉ có thể được giải quyết bằng các phương pháp không chuẩn ".)

— Christian Clason