Nhận xét khó hiểu về vùng ổn định của phương pháp Runge-Kutta bậc 5

Tôi bắt gặp một nhận xét khó hiểu trong bài báo

PJ van der Houwen, Sự phát triển của các phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân từng phần, Appl. Số Môn Toán. 20: 261, 1996

Trên dòng 8ff trên trang 264, van der Houwen viết:

"Đối với đa thức Taylor này ngụ ý rằng khoảng thời gian ổn định tưởng tượng là có sản phẩm nào cho "$p = 1, 2, 5, 6, 9, 10, \cdots$

Trong đó đa thức Taylor đề cập đến đa thức ổn định (mở rộng cắt ngắn của quanh ) của phương pháp Runge-Kutta và p là thứ tự (xem trang 263). Tôi cho rằng tôi đã hiểu nhầm một cái gì đó bởi vì phương pháp Runge-Kutta bậc 5 không có khoảng ổn định tưởng tượng trống rỗng như tôi biết. Từ những gì tôi nhớ, giới hạn tưởng tượng là khoảng 3,4 hoặc hơn.x = $\exp(x)$$x=0$

Hiểu lầm của tôi là gì?

Tuyên bố của van der Houwen là đúng, nhưng nó không phải là tuyên bố về tất cả các phương pháp Runge-Kutta bậc 5. "Đa thức Taylor" mà anh ta đang đề cập là (như bạn dường như biết) chỉ là đa thức bậc gần đúng exp ( z ) để đặt p :$p$$\exp(z)$$p$

$|P_5(i\epsilon)|>1$$\epsilon$$P_5(z)$

$P_5(z)$

$P_5(z)$$p$$P_5(z)$

Cuối cùng, rất dễ mắc sai lầm khi xác định phạm vi của khoảng ổn định tưởng tượng cho các phương pháp Runge-Kutta bậc cao. Đó là bởi vì ranh giới của vùng ổn định cho các phương thức như vậy nằm rất gần với trục tưởng tượng . Do đó, lỗi vòng có thể dẫn đến kết luận không chính xác; chỉ nên sử dụng các tính toán chính xác (tất nhiên, sự liên quan của ranh giới vùng ổn định cho các mục đích thực tế trong những trường hợp này chắc chắn có thể được tranh luận).

Chẳng hạn, đây là một biểu đồ vùng ổn định của phương thức bậc 5 từ cặp Fehlberg 5 (4):

Khoảng ổn định tưởng tượng là trống, nhưng bạn không thể biết từ hình ảnh ở độ phân giải này! Lưu ý rằng khu vực rõ ràng bao gồm một phần của trục tưởng tượng, nhưng không có khoảng thời gian về nguồn gốc.

Trong khi đó, đây là cốt truyện cho phương pháp thứ năm từ cặp Dormand-Prince 5 (4):

$[-1,1]$

$P_p(z)$

Bạn cũng có thể quan tâm đến gói NodePy , đã tạo ra các ô ở trên và có thể được sử dụng để xác định chính xác những thứ như khoảng ổn định tưởng tượng của một phương thức (từ chối trách nhiệm: Tôi đã tạo NodePy).