Cách nhanh nhất để tính giá trị riêng lớn nhất của ma trận chung là gì?

EDIT: Tôi đang thử nghiệm nếu bất kỳ giá trị riêng nào có độ lớn bằng một hoặc lớn hơn.

Tôi cần tìm giá trị riêng tuyệt đối lớn nhất của một ma trận lớn không đối xứng thưa thớt.

Tôi đã sử dụng eigen()chức năng của R , sử dụng thuật toán QR từ EISPACK hoặc LAPACK để tìm tất cả các giá trị riêng và sau đó tôi sử dụng abs()để có được các giá trị tuyệt đối. Tuy nhiên, tôi cần phải làm nó nhanh hơn.

Tôi cũng đã thử sử dụng giao diện ARPACK trong igraphgói R. Tuy nhiên, nó đã báo lỗi cho một trong các ma trận của tôi.

Việc thực hiện cuối cùng phải được truy cập từ R.

Có lẽ sẽ có nhiều giá trị riêng có cùng độ lớn.

Bạn có đề nghị nào không?

EDIT: Độ chính xác chỉ cần là 1e-11. Một ma trận "điển hình" cho đến nay đã là . Tôi đã có thể thực hiện một yếu tố QR trên đó. Tuy nhiên, nó cũng có thể có những cái lớn hơn nhiều. Tôi hiện đang bắt đầu đọc về thuật toán Arnoldi. Tôi hiểu rằng nó có liên quan đến Lanczsos.$386\times 386$

EDIT2: Nếu tôi có nhiều ma trận mà tôi đang "thử nghiệm" và tôi biết rằng có một hàm con lớn không thay đổi. Có thể bỏ qua / loại bỏ nó?

Nó phụ thuộc rất nhiều vào kích thước của ma trận của bạn, trong trường hợp quy mô lớn cũng phụ thuộc vào việc nó có thưa thớt hay không, và vào độ chính xác mà bạn muốn đạt được.

Nếu ma trận của bạn quá lớn để cho phép một yếu tố duy nhất và bạn cần độ chính xác cao, thuật toán Lanczsos có lẽ là cách nhanh nhất. Trong trường hợp không đối xứng, cần có thuật toán Arnoldi, không ổn định về số lượng, do đó, việc triển khai cần phải giải quyết vấn đề này (hơi khó xử lý).

Nếu đây không phải là vấn đề trong vấn đề của bạn, hãy cung cấp thông tin cụ thể hơn trong câu hỏi của bạn. Sau đó thêm một nhận xét cho câu trả lời này và tôi sẽ cập nhật nó.

Chỉnh sửa: [Đây là phiên bản cũ của câu hỏi, tìm kiếm giá trị riêng lớn nhất.] Vì ma trận của bạn nhỏ và có vẻ dày đặc, tôi thực hiện lặp Arnoldi trên B = (IA) ^ {- 1}, sử dụng chữ cái đầu hoán vị hệ số tam giác của IA để nhân với giá rẻ bằng B. (Hoặc tính toán nghịch đảo rõ ràng, nhưng chi phí này gấp 3 lần so với hệ số hóa.) Bạn muốn kiểm tra xem B có giá trị riêng âm hay không. Làm việc với B thay cho A, các giá trị riêng âm được phân tách tốt hơn nhiều, vì vậy nếu có một, bạn nên hội tụ nhanh chóng.

Nhưng tôi tò mò về vấn đề của bạn đến từ đâu. Ma trận không đối xứng thường có giá trị riêng phức tạp, do đó, '' lớn nhất '' thậm chí không được xác định rõ. Do đó, bạn phải biết nhiều hơn về vấn đề của mình, điều này có thể giúp gợi ý cách giải quyết vấn đề nhanh hơn và / hoặc đáng tin cậy hơn.

Edit2: Thật khó để có được với Arnoldi một tập hợp con quan tâm cụ thể . Để có được giá trị riêng hoàn toàn lớn nhất một cách đáng tin cậy, bạn sẽ thực hiện phép lặp không gian con bằng cách sử dụng ma trận gốc, với kích thước không gian con khớp hoặc vượt quá số lượng giá trị riêng dự kiến ​​sẽ gần bằng 1 hoặc lớn hơn. Trên các ma trận nhỏ, điều này sẽ chậm hơn thuật toán QR nhưng trên các ma trận lớn thì nó sẽ nhanh hơn nhiều.

Các điện Iteration (hay Method Power), ví dụ như những gì Dan được mô tả, nên luôn luôn hội tụ, mặc dù theo tỷ giá .$\left|\lambda_{n-1}/\lambda_{n}\right|$

Nếu là gần bước sóng n , nó sẽ bị chậm, nhưng bạn có thể sử dụng ngoại suy để có được xung quanh đó. Nó có vẻ phức tạp, nhưng việc thực hiện mã giả được đưa ra trong bài báo.$\lambda_{n-1}$$\lambda_n$

Gần đây đã có một số nghiên cứu tốt về điều này. Các cách tiếp cận mới sử dụng "thuật toán ngẫu nhiên" chỉ yêu cầu một vài lần đọc ma trận của bạn để có được độ chính xác tốt trên các giá trị riêng lớn nhất. Điều này trái ngược với các lần lặp công suất đòi hỏi một số phép nhân vectơ ma trận để đạt độ chính xác cao.

Bạn có thể đọc thêm về nghiên cứu mới ở đây:

http: //math.ber siêu.edu / ~ strain / 733

http://arxiv.org/abs/0909.4061

Mã này sẽ làm điều đó cho bạn:

http://cims.nyu.edu/~tygert/software.html

https://bitbucket.org/rcompton/pca_hgdp/raw/be45a1d9a7077b60219f7017af0130c7f43d7b52/pca.m

http://code.google.com.vn/p/redsvd/

https://cwiki.apache.org/MAHOUT/stochastic-singular-value-decysis.html

Nếu ngôn ngữ bạn chọn không có trong đó, bạn có thể cuộn SVD ngẫu nhiên của riêng mình khá dễ dàng; nó chỉ yêu cầu một phép nhân vectơ ma trận theo sau là một cuộc gọi đến một SVD ngoài luồng.

Ở đây bạn sẽ tìm thấy một giới thiệu thuật toán cho thuật toán Jacobi-Davidson, tính toán giá trị riêng tối đa.

Trong bài báo này các khía cạnh toán học được khám phá. JD cho phép các ma trận tổng quát (thực hoặc phức tạp) và có thể được sử dụng để tính toán các phạm vi giá trị riêng.

Ở đây bạn có thể tìm thấy các triển khai thư viện khác nhau JDQR và JDQZ (bao gồm giao diện C, mà bạn sẽ có thể liên kết đến từ R).

Trong bài viết gốc của bạn, bạn nói:

"Tôi cũng đã thử sử dụng giao diện ARPACK trong gói igraph R. Tuy nhiên, nó đã báo lỗi cho một trong các ma trận của tôi."

Tôi sẽ quan tâm để biết thêm về lỗi. Nếu bạn có thể công khai ma trận này ở đâu đó, tôi sẽ muốn thử ARPACK trên nó.

Dựa trên những gì tôi đã đọc ở trên, tôi hy vọng ARPACK sẽ làm rất tốt việc trích xuất các giá trị riêng lớn nhất (hoặc một vài trong số lớn nhất) của một ma trận thưa thớt. Cụ thể hơn, tôi mong muốn các phương pháp của Arnoldi hoạt động tốt trong trường hợp này và tất nhiên, đó là những gì ARPACK dựa trên.

Sự hội tụ chậm của phương pháp sức mạnh khi có các giá trị riêng biệt gần nhau trong khu vực quan tâm đã được đề cập ở trên. Arnoldi cải thiện điều này bằng cách lặp lại với một vài vectơ thay vì một vectơ trong phương thức sức mạnh.

Đây không phải là cách nhanh nhất , nhưng một cách nhanh chóng hợp lý là chỉ cần nhấn một vectơ (ban đầu ngẫu nhiên) với ma trận liên tục, và sau đó bình thường hóa cứ sau vài bước. Cuối cùng, nó sẽ hội tụ đến hàm riêng lớn nhất và mức tăng trong định mức cho một bước duy nhất là giá trị riêng liên quan.

Điều này hoạt động tốt nhất khi giá trị riêng lớn nhất lớn hơn đáng kể so với bất kỳ giá trị riêng nào khác. Nếu một giá trị riêng khác gần với độ lớn nhất, điều này sẽ mất một thời gian để hội tụ và có thể khó xác định xem nó có hội tụ hay không.

Gói R RACKACK hoạt động với tôi. Và nó dường như rất nhanh vì nó chỉ là một giao diện cho ARPACK, gói tiêu chuẩn cho đại số tuyến tính thưa thớt (có nghĩa là tính toán một vài giá trị riêng và hàm riêng).