Làm thế nào để xác định xem một giải pháp số cho PDE có hội tụ thành một giải pháp liên tục không?

Các Lax tương đương lý khẳng định rằng sự nhất quán và ổn định của một chương trình số cho một vấn đề giá trị ban đầu tuyến tính là một điều kiện cần và đủ để hội tụ. Nhưng đối với các bài toán phi tuyến, các phương pháp số có thể hội tụ rất hợp lý với kết quả không chính xác, mặc dù là nhất quán và ổn định. Ví dụ, bài viết này cho thấy phương pháp Godunov theo thứ tự đầu tiên được áp dụng cho phương trình nước nông tuyến tính 1D hội tụ đến một giải pháp không chính xác.

Rõ ràng việc tự hội tụ theo lưới và sàng lọc bước thời gian là không đủ, nhưng các giải pháp chính xác thường không có sẵn cho các PDE phi tuyến, vậy làm thế nào để xác định xem một phương pháp số có hội tụ thành một giải pháp chính hãng không?

pde stability convergence

— Jed Brown
nguồn

Cái gọi là Phương pháp sản xuất giải pháp làm cho các giải pháp chính xác có sẵn cho tất cả các vấn đề. Nó có thể không thể tạo ra các loại giải pháp có vấn đề mà bạn mô tả, nhưng không phải là trường hợp mà các giải pháp chính xác không bao giờ có sẵn.

— Bill Barth

Tôi nghĩ rằng điều này là khó khăn ở đây vì bạn sẽ cần phải đoán một giải pháp với loại gián đoạn không gần đúng bằng phương pháp giải pháp.

— Matt Knepley

Tôi đồng ý rằng rất khó để sản xuất các giải pháp kích thích các chế độ có vấn đề mà Jed đề cập. Tôi chỉ muốn chỉ ra rằng các giải pháp chính xác luôn có sẵn để thử nghiệm. Tôi không biết điều gì xảy ra nếu bạn tạo ra một giải pháp cho các phương trình nước nông được tuyến tính hóa 1D bằng cách sử dụng hỗn hợp các hàm số và hàm mũ (điển hình của các giải pháp chính xác của MoM), xoay tay quay để có được các thuật ngữ nguồn tương ứng và chạy chúng thông qua sơ đồ Godunov cấp 1. Có lẽ Jed có thể cho nó một shot và báo cáo lại.

— Bill Barth

MoM là một công cụ tuyệt vời, nhưng trong trường hợp này, vấn đề là sự khuếch tán bị áp dụng sai trong một cú sốc. Ở mọi nơi khác, khuếch tán hội tụ về 0 trên mỗi phương trình đều có thể chấp nhận được, nhưng khuếch tán không hội tụ về 0 trong một cú sốc, do đó, áp dụng khuếch tán số cho mỗi thuật ngữ đều dẫn đến động lực học không chính xác. Tôi sẽ viết một câu trả lời dài cho câu hỏi này khi tôi có thời gian, nếu không ai đánh bại tôi với nó.

— Jed Brown

@Jed, LET không nên áp dụng cho các phương trình tuyến tính?

— Matt Knepley

Câu trả lời:

Có hai loại giải pháp chính sẽ được thảo luận về vấn đề này.

Giải pháp trơn tru "đủ"

Trong bài báo cổ điển của Strang đã chỉ ra rằng định lý tương đương Lax (nghĩa là ý tưởng rằng tính nhất quán cộng với tính ổn định ngụ ý sự hội tụ) mở rộng cho các giải pháp PDE phi tuyến nếu chúng có một số dẫn xuất liên tục nhất định . Lưu ý rằng bài báo tập trung vào các vấn đề hyperbol, nhưng kết quả mang đến các vấn đề parabol. Số lượng các công cụ phái sinh cần thiết là một điểm kỹ thuật, nhưng phương pháp này thường được áp dụng cho các giải pháp thỏa mãn PDE theo nghĩa mạnh.

Giải pháp không liên tục

Ở một thái cực khác, chúng ta có các "giải pháp" PDE với sự không liên tục , thường phát sinh từ các luật bảo tồn hyperbol phi tuyến . Trong tình huống này, tất nhiên, giải pháp không thể nói là thỏa mãn PDE theo nghĩa mạnh, vì nó không khác biệt ở một hoặc nhiều điểm. Thay vào đó, một khái niệm về giải pháp yếu phải được đưa ra, về cơ bản là đòi hỏi giải pháp đó phải thỏa mãn luật bảo tồn nguyên vẹn.

Việc chứng minh sự hội tụ của một chuỗi các giải pháp cũng khó khăn hơn trong trường hợp này, vì ổn định của là không đủ; thông thường, chuỗi phải được hiển thị để nằm trong một không gian nhỏ gọn, chẳng hạn như tập hợp các hàm với một số biến thể tổng tối đa hữu hạn. $L_p$ $L_\infty$

Nếu trình tự có thể được hiển thị để hội tụ vào một cái gì đó, và nếu phương pháp đó là bảo thủ, thì định lý Lax-Wendroff đảm bảo rằng nó sẽ hội tụ đến một giải pháp yếu của luật bảo tồn. Tuy nhiên, giải pháp như vậy không phải là duy nhất . Việc xác định giải pháp yếu nào là "chính xác" đòi hỏi thông tin không có trong PDE hyperbol. Nói chung, các PDE hyperbol có được bằng cách bỏ qua các thuật ngữ parabol trong một mô hình liên tục và giải pháp yếu chính xác có thể phụ thuộc vào chính xác những thuật ngữ parabol nào bị loại bỏ (điểm cuối cùng này là trọng tâm của bài báo liên quan đến câu hỏi ở trên ).

Đây là một chủ đề phong phú và có liên quan, và lý thuyết toán học còn lâu mới hoàn thành. Hầu hết các bằng chứng hội tụ là cho các vấn đề 1D và dựa trên các kỹ thuật chuyên ngành. Do đó, gần như tất cả các giải pháp tính toán thực tế của các luật bảo tồn hyperbol trong thực tế không thể được chứng minh là hội tụ với các công cụ hiện có. Để thảo luận thực tế từ quan điểm tính toán, hãy xem cuốn sách của LeVeque (chương 8, 12 và 15); đối với một điều trị nghiêm ngặt và chi tiết hơn, tôi đề nghị Dafermos .

— David Ketcheson
nguồn

Tôi có rất ít đóng góp ở đây ngoài việc chỉ ra rằng bất cứ khi nào các phương pháp số gặp rắc rối với các phương trình hyperbol (và hội tụ đến giải pháp sai), thường không phải do sốc. Thay vào đó, các khu vực họ gặp khó khăn với nó là sóng hiếm - nơi giải pháp trơn tru.

u_{t} + β \cdot \nabla F (u) = g

$u_t + \beta \cdot \nabla F(u) = g$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u_{t} + β F^{'} (u) \cdot \nabla u = g

$u_t + \beta F'(u) \cdot \nabla u = g$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

F^{'} = 0

$F'=0$

ω \subset Ω

$\omega\subset\Omega$

| ω | > 0

$|\omega|>0$

$F(u)$

F (u) = \frac{u^{4}}{u^{4} + (1 - u)^{2} \cdot (1 - u^{2})}

$F(u) = \frac{u^4}{u^4 + (1-u)^2 \cdot (1-u^2)}$

u

$u$

F^{'} (u) = 0

$F'(u)=0$

u = 0

$u=0$

— Wolfgang Bangerth
nguồn

Đây là một điểm tuyệt vời, mặc dù nó trực giao với câu hỏi theo nghĩa chặt chẽ. Bạn giải quyết vấn đề hội tụ cho giải pháp yếu chính xác , điều này thực sự có vấn đề trong thực tế hơn là vấn đề hội tụ một số giải pháp yếu.

— David Ketcheson